Question

已知椭圆x^2/a^2 + y^2=1.

求斜率为2的平行弦的重点轨迹方程.
过A（2.0）是直线L与椭圆相交，求L被截得的弦的中点轨迹方程.
过P（1/2.1/2）且被P点平分的弦躲在的直线方程.

Answer 1

1、设直线与椭圆相交于A、B两点，A（x1,y1),B(x2,y2),
x1^2/a^2+y1^2=1,(1),
x2^2/a^2+y2^2=1,(2),
(1)-(2)式，
（x1^2-x2^2)/a^2+(y1^2-y2^2)=0,
1/a^2+[(y1-y2)/(x1-x2)]*{[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]}=0,(3)
其中（y1-y2)/(x1-x2)]=2，
设平行弦动点坐标为（x,y),x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2,
代入（3）式，
1/a^2+2*y/x=0,
∴中点轨迹方程为：y=-x/(2a^2).
2、设弦中点坐标为（x,y),椭圆上任一点坐标为P（x0,y0),
x=(x0+2)/2,
x0=2x-2,
y=y0/2,
y0=2y,
(2x-2)^2/a^2+(2y)^2=1,
弦中点轨迹方程为：(x-1)^2/(a/2)^2+y^2/(1/2)^2=1,
是中心不在原点的椭圆。
3、根据第一问（3）式，
1/a^2+[(y1-y2)/(x1-x2)]*{[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]}=0，
设直线斜率为k,
1/a^2+k*(1/2)/(1/2)=0,
k=-1/a^2,
直线方程为：(y-1/2)/(x-1/2)=-1/a^2,
∴y=-(x-1/2)/a^2+1/2.