Question

一道高数证明题

证明不等式：
当0<x1<x2<π/2时，tanx2/x2>tanx1/x1

Answer 1

以下都在0<x<π/2时讨论
设f(x)=tanx/x
对其求导得f'(x)=((secx)^2*x-tanx)/x^2
而(secx)^2*x-tanx=(x-sinxcosx)/(cosx)^2=(x-sin2x/2)/(cosx)^2
再设g(x)=x-sin2x/2
g'(x)=1-cos2x>0 所以g(x)是增函数
g(x)=x-sin2x/2>g(0)=0
所以(secx)^2*x-tanx=(x-sin2x/2)/(cosx)^2>0
所以f'(x)=((secx)^2*x-tanx)/x^2>0
所以f(x)=tanx/x是增函数
当0<x1<x2<π/2时，tanx2/x2>tanx1/x1