Question

已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若三角形AOB面积=4，三角形COD面积9，则四边形ABCD的面积最小值

已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若三角形AOB面积=4，三角形COD面积9，则四边形ABCD的面积最小值为，求高手赐教，何时最小，要有过程哦，谢谢！

Answer 1

答案：当三角形AOD面积=三角形BOC面积=6，即：S△AOD=S△BOC=6  时，

    四边形ABCD的面积最小值为 25

  解题过程：

          解证：如图，由题得：S△AOB=[OA×OB×sin(180°-∠1)]/2=4

                                                 S△COD=[OC×OD×sin(180°-∠2)]/2=9

                                  ∴ (OA×OB×sin∠1)/2=4     (OC×OD×sin∠2)/2=9

                        ∴ [(OA×OB×sin∠1)/2]×[ (OC×OD×sin∠2)/2]=4×9=36

                                             即：(OA×OD×OB×OCsin∠1×sin∠2)/4=36

     ∴ S四边形ABCD=S△AOB+S△COD+S△AOD+S△BOC

    =13+(OA×OD×sin∠1)/2+(OB×OC×sin∠2)/2》13+2倍的根号[(OA×OD×sin∠1)/2]×[(OB×OC×sin∠2)/2]=13+2倍的根号（36）=13+2×6=25

                  当且仅当：(OA×OD×sin∠1)/2=(OB×OC×sin∠2)/2时，取等号。

      ∴ 当三角形AOD面积=三角形BOC面积=6，即：S△AOD=S△BOC=6  时，

      四边形ABCD的面积最小值为 25

                                                   证毕！