Question

设函数f(x)=ax2+bx+c（c>0）,且f(1)=-a/2 求证:函数f(x)有两个零点 设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x

设函数f(x)=ax2+bx+c（c>0）,且f(1)=-a/2
1. 求证:函数f(x)有两个零点
2.设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1-x2|的取值范围
3.求证：函数f（x）在区间（0,2）内至少有一个零点

Answer 1

首先说这个题出的有问题，若a=0,b<0时题设仍然成立，但此时函数不可能有两个零点。
以下解答：
1、a+b+c=-a/2 ==> -b=3/2a+c ==> b^2-4ac=(3/2a-1/3c)^2+8/9c^2>0

2、c=-3/2a-b>0 ==> b<-3/2a
c=-3/2a-b ==> b^2-4ac=(2a+b)^2+2a^2 ==> |x1-x2|=√[(b^2-4ac)/(a^2)]=√[(2+b/a)^2+2]
当a>0时，b/a<-3/2，2+b/a<1/2，|x1-x2|>=√2
当a<0时，b/a>-3/2，2+b/a>1/2，|x1-x2|>3/2

3、f(0)=c>0，f(2)=4a+2b+c=5/2a+b
当a>0时，b/a<-3/2：当-4<=b/a<-3/2时，对称轴x=-b/(2a)∈(3/4,2]，且f(0)>0，开口向上，必有一根∈(0,2)；当b/a<=-4时，b<=-4a，f(2)=5/2a+b<=5/2a-4a=-3/2a<0，且f(0)>0，必有一根∈(0,2)
当a<0时，b/a>-3/2，b<-3/2a，f(2)=5/2a+b<5/2a-3/2a=a<0，且f(0)>0，必有一根∈(0,2)