Question

两道高一数学题。急求教。

1。已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c.
(1)若a>b>c,f(1)=0,是否存在实数m,使得当f(m)=-a成立时,f(m+3)为正数?若存在,证明你的结论;若不存在,说明理由.
(2)若x1＜x2,f(x1)≠f(x2),且方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]有两个不同的实数根,求证:必有一实数根在x1与x2之间.

2。定义在正实数集上的函数f（x）满足下列条件：①f(a)=1(a＞1)②x∈R*时，有f（x^m）=mf(x).
(1)求证：f(xy)=f(x)+f(y);
(2)证明：f(x)在正实数集上单调递增
(3)若不等式f(x)+f(4-x)≤2恒成立,求实数a的取值范围.

Answer 1

1.（1）.首先可知：b^2-4ac>=0,a+b+c=0
若f(m)=-a成立，即b^2-4ac>0,要求证明f(m+3)>0,即需要证明ax^2+bx+c=0的两个解的差小于或等于3，即b^2-4ac<=9a^2,可得
a-c<=3a,即-c<2a,即a+b<2a,即b<a,得证。

(2)由于：f(xy)=f(x)+f(y)
则：令x=y=1
则有：
f(1*1)=f(1)+f(1)
f(1)=2f(1)
则：f(1)=0

再令:y=1/x
则有：
f[x*(1/x)]=f(x)+f(1/x)
f(1)=f(x)+f(1/x)
又：f(1)=0
则：
0=f(x)+f(1/x)
f(1/x)=-f(x)

由于：
n属于正实数集
则：（1/n）属于正实数集
则有：
f[x/n]+f(n)=f[(x/n)*n]
即：
f(x/n)=f(x)-f(n)

Answer 2

虽然我会 可手机杂给你打过程啊。 自己找哈同学吧

Answer 3

深有同感，用电脑写数学题实在太麻烦了