Question

高二数学：双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0)满足如下条件(1)ab=3

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0)满足如下条件(1)ab=3;(2)过右焦点F的直线l的斜率为(√21)/2,交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|:|QF|=2:1,求双曲线的方程
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Answer 1

定比分点坐标是重点 解：右焦点F的坐标为(c,0),
则斜率为(√21)/2且过右焦点F的直线l的方程为
y=(√21)*(x/2)-(√21)c/2 －－－－－(1)
由|PQ|：|QF|=2:1,得:
|PQ|：|PF|=2：3
∴Q点的横坐标Xq=2c/3 (定比分点坐标公式)
代入(1)得Q点的纵坐标为
Yq=(√21)*(2c/3)/2-(√21)c/2＝－(√21)c/6
而Xq,Yq满足x^2/a^2-y^2/b^2=1，即
(2c/3)^2/a^2-[-(√21)c/6]^2/b^2=1
化简得
16c^2/a^2-21c^2/b^2=36
再把c^2=a^2+b^2代入上式进一步化简得
16*b^2/a^2-21*a^2/b^2-41=0 －－－－－(2)
令b^2/a^2＝t (t>0);则(2)式为16t-21/t-41=0
解此方程得t=3 [另一t值为-7/16,和t>0矛盾，故舍]
即b^2=3*(a^2) －－－－－(3)
由ab=√3得
a^2*b^2=3 －－－－－－(4)
(4)式除以(3)式，得
a^2=1/(a^2)
故a^2=1
代入(4)式得
b^2=3
故所求双曲线方程为
x^2-y^2/3=1