Question

设函数f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,g(x)与f(x)的图象关于直线x-1=0对称，且当x∈[2,3]时，g(x)=2a(6,+∞

设函数f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,g(x)与f(x)的图象关于直线x-1=0对称，且当x∈[2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)^3(a为实数）
（1）求函数f（x）表达式
（2）设a∈(6,+∞），求a的值使f(x)的图象最高点落在y=12上

Answer 1

1.
设A(x,y)是f(x)上的点，且x∈[-1,0]
则A点关于x=1的对称点A'(2-x, y)肯定在g(x)上
∵x∈[-1,0]
∴2-x∈[2,3]
∴A'(2-x, y)满足g(x)=2a(x-2)-4(x-2)³
得y=4x³-2ax
∴当x∈[-1,0]时，f(x)=4x³-2ax
当x∈(0,1]时，-x∈[-1,0]，所以-x满足上式
代入得f(-x)=-4x³+2ax
∵f(x)是偶函数
∴f(x)=f(-x)=-4x³+2ax

综上，
f(x)=4x³-2ax -1≤x≤0
-4x³+2ax 0＜x≤1

2.
求导。
f'(x)=12x²-2a -1≤x≤0
-12x²+2a 0＜x≤1
①当-1≤x≤0时，x²≤1，12x²≤12,
∵a＞6，2a＞12
∴f'(x)=12x²-2a ＜0
∴f(x)在[-1,0]上单调递减
②当0＜x≤1时，x²≤1，-12x²≥-12
∵2a＞12
∴f'(x)=-12x²+2a ＞0
∴f(x)在(0,1]上单调递增

∴f(x)最大值为f(1)=f(-1)=2a-4=12
a=8