Question

长沙理工大学期末考试，自动控制原理试卷

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Answer 1

2
2-1 设质量-弹簧-摩擦系统如图2-1所示，途中 为黏性摩擦系数， 为弹簧系数，系统的输入量为力 ，系统的输出量为质量 的位移 。试列出系统的输入输出微分方程。
解：显然，系统的摩擦力为 ，弹簧力为 ，根据牛顿第二运动定律有

移项整理，得系统的微分方程为

2-2 试列写图2-2所示机械系统的运动微分方程。
解：由牛顿第二运动定律，不计重力时，得

整理得

2-3 求下列函数的拉氏变换。
（1）
（2）
（3）
解：（1）

（2）

（3）

2-4 求下列函数的拉氏反变换
（1）
（2）
（3）
解：（1）

（2）

（3）

2-5 试分别列写图2-3中各无源网络的微分方程（设电容 上的电压为 ，电容 上的电压为 ，以此类推）。

图2-3 习题2-5 无源网络示意图
解：（a）设电容 上电压为 ，由基尔霍夫定律可写出回路方程为

整理得输入输出关系的微分方程为

（b）设电容 、 上电压为 ，由基尔霍夫定律可写出回路方程为

整理得输入输出关系的微分方程为

（c）设电阻 上电压为 ，两电容上电压为 ，由基尔霍夫定律可写出回路方程为
（1）
（2）
（3）
（4）
（2）代入（4）并整理得
（5）
（1）、（2）代入（3）并整理得

两端取微分，并将（5）代入，整理得输入输出关系的微分方程为

2-6 求图2-4中各无源网络的传递函数。
图2-4 习题2-6示意图
解：（a）由图得
（1）
（2）
（2）代入（1），整理得传递函数为

（b）由图得
（1）
（2）

整理得传递函数为

（c）由图得
（1）
（2）
（3）
（4）
整理得传递函数为

2-7 求图2-5中无源网络的传递函数。
解：由图得

整理得

2-8 试简化图2-6中所示系统结构图，并求传递函数 和 。
解：（a）
⑴求传递函数 ，按下列步骤简化结构图：
① 令 ，利用反馈运算简化如图2-8a所示

②串联等效如图2-8b所示

③根据反馈运算可得传递函数

⑵求传递函数 ，按下列步骤简化结构图：
①令 ，重画系统结构图如图2-8c所示

② 将 输出端的端子前移，并将反馈运算合并如图2-8d所示

③ 和 串联合并，并将单位比较点前移如图2-8e所示

④串并联合并如图2-8f所示

⑤根据反馈和串联运算，得传递函数

（b）求传递函数 ，按下列步骤简化结构图：
①将 的引出端前移如图2-8g所示

②合并反馈、串联如图2-8h所示

③ 将 的引出端前移如图2-8i所示

④ 合并反馈及串联如图2-8j所示

⑤根据反馈运算得传递函数

2-9 试简化图2-7中所示系统结构图，并求传递函数 。
解：求传递函数 ，按下列步骤简化结构图：
① 将 的引出端前移如图2-9a所示

② 合并反馈及串联如图2-9b所示

③ 合并反馈、串联如图2-9c所示

④根据反馈运算，得传递函数

2-10 根据图2-6给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数 和 。
解：（a）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-10a所示。

（1）令 ，求系统传递函数
由信号流图2-10a可见，从源节点 到阱节点 之间，有一条前向通路，其增益为

有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为
， ，
与 互不接触

流图特征式

由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式

根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为

（2）令 ，求系统传递函数
由信号流图2-10a可见，从源节点 到阱节点 之间，有两条前向通路，其增益为
，
有两个相互接触的单独回路，其回路增益分别为
，
没有互不接触的回路，所以流图特征式为

由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式
，
根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为

（b）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-10b所示。

求系统传递函数
由信号流图2-10b可见，从源节点 到阱节点 之间，有一条前向通路，其增益为

有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为
， ，
与 互不接触

流图特征式为

由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式

根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为

2-11 根据图2-7给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数 。
解：根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-11a所示

由信号流图2-11a可见，从源节点 到阱节点 之间，有一条前向通路，其增益为

有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为
， ，
没有互不接触回路。因此，流图特征式

由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式

根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为

3
3-1 设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述： ，其中 。试证明系统的动态性能指标为 ， ，
解：
由系统的微分方程可得其传递函数 ，在单位阶跃输入作用下，由于 ，所以有

当 时，显然有
解之得
由于 为 从 上升到 这个过程所需要得时间，所以有

其中

由上式易解出

则 ，当 时，显然有

解之得

3-2 已知各系统得脉冲响应，试求系统的闭环传递函数：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
解：
（1）
（2）

（3）

3-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为 ，试求系统的超调量 ，峰值时间 和调节时间 。
解：

＝
由上式可知，此二阶系统的放大系数是10，但放大系数并不影响系统的动态性能指标。
由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为
所以有
解上述方程组，得
所以，此系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标如下
超调量
峰值时间
调节时间

3-4 设单位负反馈系统的开环传递函数为 ，试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。
解题过程：
由题意可得系统得闭环传递函数为

其中 。这是一个比例－微分控制二阶系统。
比例－微分控制二阶系统的单位阶跃响应为

故显然有

此系统得动态性能指标为
峰值时间
超调量
调节时间

3-5 已知控制系统的单位阶跃响应为 ，试确定系统的阻尼比 和自然频率 。
解：
系统的单位脉冲响应为
系统的闭环传递函数为
自然频率
阻尼比

3-6 已知系统特征方程为 ，试用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性。
解：
先用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下

显然，由于表中第一列元素得符号有两次改变，所以该系统在 右半平面有两个闭环极点。因此，该系统不稳定。
再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。显然，特征方程的各项系数均为正，则

显然，此系统不稳定。

3-7 设单位负反馈系统的开环传递函数为 ，试应用劳斯稳定判据确定义为多大值时，特使系统振荡，并求出振荡频率。
解：
由题得，特征方程是
列劳斯表

由题意，令 所在行为零得
由 行得
解之得 ，所以振荡角频率为

3-8 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ，试确定系统稳定时的 值范围。
解：
由题可知系统的特征方程为

列劳斯表如下

由劳斯稳定判据可得

解上述方程组可得

3-9系统结构如图3-1所示， ，定义误差 ，
(1) 若希望图a中，系统所有的特征根位于 平面上 的左侧，且阻尼比为0.5，求满足条件的 的取值范围。
(2) 求图a系统的单位斜坡输入下的稳态误差。
(3) 为了使稳态误差为零，让斜坡输入先通过一个比例微分环节，如图b所示，试求出合适的 值。

解：（1）闭环传递函数为
即
，代入上式得，

列出劳斯表，

(2) ，系统为I型系统 ∴
(3)

并没有改变系统的稳定性。

3-10 已知单位反馈系统的开环传递函数：
（1） ；
（2）
试求输入分别为 和 时，系统的稳态误差。
解：
（1）
由上式可知，该系统是 型系统，且 。
型系统在 信号作用下的稳态误差分别为： 。根据线性叠加原理有该系统在输入为 时的稳态误差为 ，该系统在输入为 时的稳态误差为
（2）
由上式可知，该系统是 型系统，且 。
型系统在 信号作用下的稳态误差分别为： 。根据线性叠加原理有该系统在输入为 时的稳态误差为 ，该系统在输入为 时的稳态误差为

3-11已知闭环传递函数的一般形式为

误差定义为 。试证，
（1） 系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件为

（2）系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件为

（3）推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件
（4）求出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系
解：（1）

满足终值定理的条件，

即证
（2）

满足终值定理的条件，

即证
(3) 对于加速度输入，稳态误差为零的必要条件为

同理可证
（4）系统型别比闭环函数分子最高次幂大1次。
3-12 已知单位反馈系统的开环传递函数为：
（1） ；
（2） ；
（3）
试求位置误差系数 ，速度误差系数 ，加速度误差系数 。
解：
（1） 此系统是一个 型系统，且 。故查表可得 ， ，
（2） 根据误差系数的定义式可得

（3） 根据误差系数的定义式可得

3-13设单位反馈系统的开环传递函数

输入信号为
其中 , , , i, , 均为正数，a和b为已知正常数。如果要求闭环系统的稳态误差 < , 其中 , 试求系统各参数满足的条件。
解：首先系统必须是稳定的，系统的闭环特征方程为

式中， ,为系统的开环增益，各参数满足：
,
即稳定条件为
由于本例是I型系统，其 , ,故在 作用下，其稳态误差
必有
于是，即能保证系统稳定，又满足对系统稳态误差要求的各参数之间的条件为

3-14 设单位反馈系统的开环传递函数为 。试用动态误差系数法求出当输入信号分别为 时，系统的稳态误差。
解：
系统的误差传递函数为

所以有
对上式进行拉氏反变换可得
（1）
当 时，显然有

将上述三式代入（1）式，可得
系统的稳态误差为

3-15 假设可用传送函数 描述温度计的特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温，需要一分钟时间才能指出实际水温的 的数值。如果给容器加热，使水温依 的速度线性变化，问温度计的稳态误差有多大?
解：
由题意，该一阶系统得调整时间 ，但 ，所以 。
系统输入为 ，可推得
因此可得

的稳态分量为
稳态误差为
所以，稳态误差为

3-16如图3-2所示的控制系统结构图，误差 在输入端定义，扰动输入 .
(1) 试求 时，系统在扰动输入下的稳态输出和稳态误差。
(2) 若 , 其结果又如何？
(3) 在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节 ，对其结果有何影响？
在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节 ，对其结果又有何影响？
解：令 ， ，
则 代入
得
令 ，得扰动作用下的输出表达式：

此时的误差表达式为：
若在s 右半平面上解析，则有

在扰动输入下的稳态输出为

代入 的表达式，可得

（1） 当 时，
（2） 当 时，
可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大，且稳态误差的绝对值也增大。
（3） 若 加在扰动之前，则

得
若 加在扰动之后，则

可见在扰动作用点之前的前向通路中加入积分环节，可以消除阶跃输入引起的稳态误差。

3-17 设随动系统的微分方程为：

其中， 为系统输出量， 为系统输入量， 为电动机机电时间常数， 为电动机电磁时间常数， 为系统开环增益。初始条件全部为零，试讨论：
（1） 、 与 之间关系对系统稳定性的影响
（2） 当 , , 时，可否忽略 的影响？在什么影响下 的影响可以忽略？
解：（1）对系统微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，得闭环系统特征方程

当 均为正值时，且有
即 时 闭环系统稳定。
（2）由于 ，因此只有当
闭环系统才稳定，显然，对于 , 闭环不稳定。此时若略去 ,
闭环特征方程为

上式中各项系数为正，从而得到得出闭环系统稳定的错误结论。如果
。如果 ，则略去 不会影响闭环稳定性。
对于本例，当 时，不能忽略 对稳定性的影响，否则可以忽略。

5
5-1 设系统闭环稳定，闭环传递函数为 ，试根据频率特性的定义证明，输入为余弦函数 时，系统的稳态输出为

解：
由题目可得
对等式两边同时进行拉氏变换可得

由于系统闭环稳定，所以 不存在正实部的极点。假设 可表示为如下表达式

由以上分析可得，系统的闭环传递函数为

对上述闭环传递函数作如下分解

对上式等式两边进行拉氏反变换可得

由系统稳态输出的定义可得

利用留数法确定待定的系数

所以可得

5-2 若系统阶跃响应为：

试确定系统频率特性
解：
单位阶跃输入信号的拉氏变换为
系统单位阶跃响应的拉氏变换为

系统的闭环传递函数为
将 代入传递函数 可得

5-3 设系统结构图如图5-1所示，试确定输入信号

作用下，系统的稳态误差 。

解：
如图5-1所示，系统的误差传递函数为

其幅频特性和相频特性分别为

当 时

5-4已知系统开环传递函数
；
试分析并绘制 和 情况下的概略幅相曲线。
解：
由题可知，系统的频率特性如下

由于系统 ，所以开环幅相曲线要用虚线补画 的半径为无穷大的圆弧
当 时，
当 时，
又由于 ，所以有
当 时，开环幅相曲线始终处于第三象限，如图5-4a所示；
当 时，开环幅相曲线始终处于第二象限，如图5-4b所示。

5-5 已知系统开环传递函数

试分别绘制 时系统的概略开环幅相曲线。
解：
由题目可知，系统的频率特性如下

当 时，开环幅相曲线要用虚线补画 的半径为无穷大的圆弧。
若 ，则
若 ，则
由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。
当 时，开环幅相曲线要用虚线补画 的半径为无穷大的圆弧。
若 ，则
若 ，则
由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。
当 时，开环幅相曲线要用虚线补画 的半径为无穷大的圆弧。
若 ，则
若 ，则
由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。
当 时，开环幅相曲线要用虚线补画 的半径为无穷大的圆弧。
若 ，则
若 ，则
由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。

5-6已知系统开环传递函数

试分别计算 和 时，开环频率特性的幅值 和相位 。
解：
系统的开环频率特性表达式如下

当 时

此时
当 时

此时

5-7 绘制下列传递函数的对数幅频渐进特性曲线
a．

b．

c．

d．

5-8 已知系统开环传递函数

试绘制 的对数频率特性曲线，并算出截止频率 。
解：由题可得
则

因此
对数频率特性曲线如图5-8a所示

又 ，可得 ，即
计算可得

5-9 已知系统开环传递函数为：

a．计算截止频率 。
b．确定对数幅频渐进特性曲线的低频渐进线的斜率。
c．绘制对数幅频特性曲线。
解：

计算可得
当 时，斜率为 ；
当 时，斜率为 ；
当 时，斜率为 ；
当 时，斜率为 ；
绘制对数幅频特性曲线，如图5-9a所示。

5-10 利用奈氏判据分别判断题5-4，5-5系统的闭环稳定性。
解：
(1) 对于题5-4的系统，分 和 的两种情况来讨论系统的闭环稳定性。
当 时，系统的开环幅相曲线如图5-4a所示，由图可知，系统的开环幅相曲线不包围 ，根据奈奎斯特判据可得
又由系统得开环传递函数可知
即 ，闭环系统在 右半平面无极点， 时闭环系统稳定。
当 时，系统的开环幅相曲线如图5-4b所示，由图可知，
又由系统得开环传递函数可知
即 ，闭环系统在 右半平面有2个极点， 时闭环系统不稳定。
(2) 对于题5-5的系统，其开环幅相曲线如图所示，由图5-5a可知
当 时， ，又由系统得开环传递函数可知
即 ，闭环系统在 右半平面无极点， 时闭环系统稳定。
当 时， ，又由系统得开环传递函数可知
即 ，闭环系统在 右半平面有2个极点， 时闭环系统不稳定。

5-11 用劳斯判断据验证题5-10的结果。
解：
（1）对于题5-4的系统，由题得闭环系统特征方程为

列劳斯表

则当 时， ，即第一列各值为正，即闭环系统稳定；
当 时， ，即第一列各值不全为正，即闭环系统不稳定。
（2）对于题5-5的系统，由题得闭环系统特征方程为
，即
当 时，列劳斯表

第一列各值为正，即闭环系统稳定；
当 时，列劳斯表

第一列各值不全为正，即闭环系统不稳定；
当 时，情况与 相同，即闭环系统不稳定。

5-12 已知三个系统的开环传递函数为
，
，
，
又知它们的奈奎斯特曲线如图5-2(a)(b)(c)所示。找出各个传递函数分别对应的奈奎斯特曲线，并判断单位反馈下闭环系统的稳定性
解：三个传递函数对应的奈奎斯特曲线分别为
对 式， ，
则 ，故系统稳定；
对 式， ，
则 ，故系统稳定；
对 式， ，
则 ，故系统稳定；

5-13 已知系统开环传递函数
；
试根据奈氏判据，确定其闭环稳定条件：
a． 时， 值的范围；
b． 时， 值的范围；
c． ， 值的范围。
解：
由系统的开环传递函数可知，系统的开环曲线图如图5-13a所示

由于 ，故想要闭环系统稳定，必有 ，即幅相曲线不包围点 。
系统的频率特性表达式如下

、 时，对于开环幅相曲线与实轴的交点有

由上式可得 ，则交点的实轴坐标为

由上式可得
、 时，对于开环幅相曲线与实轴的交点有

由上式可得 ，则交点的实轴坐标为

由上式可得
、对于开环幅相曲线与实轴的交点有

由上式可得 ，则交点的实轴坐标为

由上式可得

5-14 某系统的开环传递函数为

要求画出以下4种情况下的奈奎斯特曲线，并判断闭环系统的稳定性：
a． ；
b． ；
c． ；
d． 。
解：
a． 当 时， ，
其开环幅相曲线如图5-14a所示， ，
则 ，故在 平面右半平面有2个闭环极点，闭环系统不稳定；
b．当 时，
若 ，则
若 ，则
其开环幅相曲线如图5-14b所示， ，
则 ，故系统不稳定；
c． 当 时，
若 ，则
若 ，则
其开环幅相曲线如图5-14c所示， ，
则 ，故系统不稳定；
d．当 时，
由 可得 ,
故可得其开环幅相曲线如图5-14d所示， ，
则 ，故系统稳定。

5-15 已知反馈控制系统的开环传递函数为
，
如果闭环系统不稳定，闭环传递函数会有几个极点在复数平面的右半平面？
解：

当 时，
当 时，
由于系统不稳定，故可得其开环幅相曲线如图5-15a所示
由图可得 ，
则 ，故闭环传递函数有2个极点在复数平面的右半平面。

5-16 设控制系统的结构图如图5-3所示。
a．求出开环传递函数；
b．画出对数相频特性曲线；
c．求出临界开环比例 和截止频率 ；
d．用奈氏判据判断该系统是否稳定，如果稳定再分别求出当输入信号 和 的情况下系统的静态误差。

解：
（a）系统开环传递函数为
（b）
，
，

（c）
，
，
系统开环频率特性为

与实轴的交点

故幅相曲线为

当 时，系统临界稳定，得
当 时， ，系统稳定

当 时， ，系统不稳定
当 时， ，
当 时，

5-17 已知某最小相位系统的开环对数幅频特性如图5-4所示。
a．写出其开环传递函数；
b．画出其相频特性草图，并从图上求出和标明相角裕度和幅值裕度；
c．求出该系统达到临界稳定时的开环比例系数值 ；
d．在复数平面上画出其奈奎斯特曲线，并标明点 的位置。
解：
（1）确定系统积分或微分环节的个数。因对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线的斜率为 ，由图，低频渐近斜率为 ，故 ，系统含有2个积分环节。
（2）确定系统传递函数结构形式。由于对数幅频渐近特性曲线为分段折线，其各转折点对应的频率为所含一阶或二阶环节的交接频率，每个交接频率处斜率的变化取决于环节的种类。
处，斜率变化 ，对应微分环节；
处，斜率变化 ，对应惯性环节；
处，斜率变化 ，对应惯性环节。
因此，所测系统具有下述传递函数

其中 待定。
（3）低频渐近线方程为

由给定点 ，得
故所测系统传递函数为

5-18设单位反馈控制系统的开环传递函数

试确定相角裕度为 时的参数值。
解：
系统的频率特性表达式为
设系统的截止频率为 ，则由相角裕度的定义可得

即
又由于
由上式得
所以

5-19 若高阶系统的时域指标为 ， ，试根据经验公式确定系统的截止频率和相角裕度的范围。
解：根据经验公式，

根据题意有，

可求得

5-20 典型二阶系统的开环传递函数

若已知 ，试确定相角裕度 的范围；若给定 ，试确定系统带宽 的范围。
解：由于 且 ，
可解得
而根据题意
又有 ，且
故计算可得：

5-21 设二阶系统如图5-5(a)所示。若分别加入测速反馈校正， （图5-5(b)）和比例-微分校正， （图5-5(c)），并设 ， ，试确定各种情况下相角裕度 的范围，并加以比较。

解：(a)由题意可知系统开环频率特性

， ，
设 为截止频率，当 时，则有

和

把 代入上式，得：
，

(b)由题意可知系统开环传递函数为

其开环频率特性为

设 为截止频率，当 时，则有

和

把 ，设 ，代入上式，得：
，

(c)由题意可知系统开环传递函数为
，其中
其开环频率特性为

，
设 为截止频率，当 时，则有

和

把 ，设 ，代入上式，得：
，

5-22 已知单位反馈系统的开环幅相特性曲线如图5-6所示。当 时，系统幅值裕度 ，穿越频率 ，试求输入为 ，幅值裕度为下述值时，系统的稳态误差。
a．
b．

解：设系统开环传递函数为：

开环系统幅频特性为：

系统的开环频率特性为：

解得
当 有 ，
得
则系统开环传递函数可写成

系统与实轴的交点为
当 时， ，
当 时， ，

5-23 设单位反馈系统如图5-7所示。其中， ； 时，截止频率 ，若要求 不变，问 与 如何变化才能使系统相角裕度提高至 ？
解：开环系统幅频特性为：

相频特性为：

当 时，
，把 代入得：

若要求相角提高 ，即要求 提高 ，设调整后的系统相频特性为：

调整后的 值为： ， 值不做调整。

5-24 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为

试绘制系统的对数频率特性曲线，并据此确定：
a．求 时的相角裕度；
b．求 时的幅值裕度；
(1)解： 开环系统幅频特性为：

令 ，当 时，得
开环系统相频特性为：
，当 时，有

(2) 解：开环系统的频率特性为：
令其虚部为零，即

得

5-25 若单位反馈系统的开环传递函数

试确定使系统稳定的 值。
解：
系统的频率特性表达式为
由上式可得，系统的幅频特性和相频特性分别为

系统临界稳定时开环幅相曲线穿过点 ，此时

由上式可得，
显然，当 时，由奈奎斯特稳定判据可得系统闭环稳定。
故 的取值范围为

5-26 设单位反馈系统的开环传递函数

试确定闭环系统稳定时，延迟时间 的范围。
解：
系统的频率特性表达式为
由上式可得，系统的幅频特性和相频特性分别为

系统临界稳定时开环幅相曲线穿过点 ，此时

由幅频特性可得
解之可得 （舍去）
又 即
显然，当 时，由奈奎斯特稳定判据可得系统闭环稳定。故 的取值范围为

Answer 2

这个当时我们是开卷考，貌似很简单，就是书上几个经典例题改下

Answer 3

自控的卷子还没怎么见人传过，自己多看看书吧，背点题。时间还是来得及的。然后就是祈祷不要被分到第一排坐.....

Answer 4

没有！