Question

数学高手 来！

求证(a²+b²+c²) ≥ 1/3

Answer 1

前提a+b+c=1
先证明均值不等式：因为(a-b)^2≥0
即a^2-2ab+b^2≥0
所以2ab≤a^2+b^2

下面开始证明：
a+b+c=1 两边平方
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
因为
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac≤a^2+b^2+c^2+(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(a^2+c^2)
这一步是根据上面的均值不等式。
右边=3(a^2+b^2+c^2)
左边=1
所以1≤3(a^2+b^2+c^2)
也就是a²+b²+c²>=1/3

Answer 2

a+b+c=1的前提下是对的，
Cauthy不等式
(a+b+c)^2<=(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)
于是
(a²+b²+c²) ≥ 1/3