设0<a<b,证明不等式 (2a)/(a^2+b^2)<(lnb-lna)/(b-a)<1/(ab)^0.5
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设f(x)=ln x,则f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,
则至少存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
f'(x)=(ln x)'=1/x,左边=(2a)/(a^2+b^2)<2a/2ab=1/b=f'(b)
右边=1/(ab)^0.5>1/(a*a)^0.5=1/a=f'(a),中间部分=f'(c)
则要比较f'(a),f'(b),f'(c)三者的大小。
又有f"(x)=-1/x^2,当x>0时,f"(x)<0,所以f'(x)单调递减
因为a<c<b,所以可得f'(b)<f'(c)<f'(a),从而原式成立。
则至少存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
f'(x)=(ln x)'=1/x,左边=(2a)/(a^2+b^2)<2a/2ab=1/b=f'(b)
右边=1/(ab)^0.5>1/(a*a)^0.5=1/a=f'(a),中间部分=f'(c)
则要比较f'(a),f'(b),f'(c)三者的大小。
又有f"(x)=-1/x^2,当x>0时,f"(x)<0,所以f'(x)单调递减
因为a<c<b,所以可得f'(b)<f'(c)<f'(a),从而原式成立。
参考资料: http://baike.baidu.com/view/103944.htm
引用183685775的回答:
设f(x)=ln x,则f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,
则至少存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
f'(x)=(ln x)'=1/x,左边=(2a)/(a^2+b^2)<2a/2ab=1/b=f'(b)
右边=1/(ab)^0.5>1/(a*a)^0.5=1/a=f'(a),中间部分=f'(c)
则要比较f'(a),f'(b),f'(c)三者的大小。
又有f"(x)=-1/x^2,当x>0时,f"(x)<0,所以f'(x)单调递减
因为a<c<b,所以可得f'(b)<f'(c)<f'(a),从而原式成立。
设f(x)=ln x,则f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,
则至少存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
f'(x)=(ln x)'=1/x,左边=(2a)/(a^2+b^2)<2a/2ab=1/b=f'(b)
右边=1/(ab)^0.5>1/(a*a)^0.5=1/a=f'(a),中间部分=f'(c)
则要比较f'(a),f'(b),f'(c)三者的大小。
又有f"(x)=-1/x^2,当x>0时,f"(x)<0,所以f'(x)单调递减
因为a<c<b,所以可得f'(b)<f'(c)<f'(a),从而原式成立。
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