Question

请教一个向量空间线性代数问题： 对于向量空间V，有子向量空间U和W。请问如何证明U交W也是V的子向量空间？

对于向量空间V，有子向量空间U和W。请问如何证明U交W也是V的子向量空间？
在线等，拜托各位啦~

Answer 1

只用向量集合、向量空间的定义就可以解决了啊。我用普通语言直接表述吧，你用数学的形式再表达出来就行了：
设某向量X是属于（U交W）的任意向量，注意，这个任意很重要。那么，X一定是属于U（或者W）的。又由于U包含于V（因为U是V的子空间），那么X一定是属于V的了。如此一来，（U交W）中的任意向量都是V中的向量，依据子空间的字义就可以得证了。
如果你要再严格一些，还需要证明（U交W）是一个空间。这个也很简单，只要证明（U交W）中的向量对加法和数乘封闭就行了。我只说加法的吧，A和B两个向量是属于（U交W）的，他们同时都属于U和W，因为U和W都是空间，则A+B也属于U、也属于W。所以A+B就属于（U交W），空间是封闭的。数乘是一样的。