高二问两道数学题 求教
1、f(x)=x^2+ax+b,a∈(0,1/2),x∈[-1,1],求证:|f(x)|≤1的充要条件是(a^2/4)-1≤b≤-a。2、在平面直角坐标系中,若向量a=(...
1、f(x)=x^2 + ax + b,a∈(0,1/2),x∈[-1,1],求证:|f(x)|≤1的充要条件是(a^2/4)-1≤b≤-a。
2、在平面直角坐标系中,若向量a=(x-根号2,y),向量b=(x+根号2,y)
且|向量a|+|向量b|=2×根号3。
(1)求动点Q(x,y)的轨迹C的方程; (其实就是一个椭圆 这个问没什么好说的)
(2)已知向量OB=(0,-1),是否存在斜率为k(k≠0)的直线L,L与曲线C相交于M、N两点,使向量BM与向量BN的夹角为60°,且|向量BM|=|向量BN|。若存在,求出k值,并写出直线L的方程;若不存在,请说明理由。 求助 谢谢 展开
2、在平面直角坐标系中,若向量a=(x-根号2,y),向量b=(x+根号2,y)
且|向量a|+|向量b|=2×根号3。
(1)求动点Q(x,y)的轨迹C的方程; (其实就是一个椭圆 这个问没什么好说的)
(2)已知向量OB=(0,-1),是否存在斜率为k(k≠0)的直线L,L与曲线C相交于M、N两点,使向量BM与向量BN的夹角为60°,且|向量BM|=|向量BN|。若存在,求出k值,并写出直线L的方程;若不存在,请说明理由。 求助 谢谢 展开
2个回答
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1、|x^2+ax+b|≤1,也就是-1≤x^2+ax+b≤1,所以 -x^2-ax-1≤b≤-x^2-ax+1
即-(x+a/2)^2+a^2/4-1≤b≤-(x+a/2)^2+a^2/4+1
现把等式两边a看做已知量,左边在x=-a/2的时候有最大值,而根据题目条
件x总能取到-a/2这个值,所以左边的最大值为a^2/4-a,
因为a/2是个正数,所以右边在x=1的时候有最小值,为
-(1+a/2)^2+a^2/4+1 = a
所以,原不等式等价于(a^2/4)-1≤b≤-a
2、(1)就是到(根号2,0)和(-根号2,0)的距离和为2×根号3的点的轨迹
椭圆,方程是x^2/3+y^2=1
(2)设直线为y=kx+b,联立椭圆的
(3k^2+1)x^2+6bkx+3b^2-3=0
用韦达定理得x1+x2和x1×x2的两个方程,
然后利用BM=BN得到一组方程,接着利用BM到BN的夹角α满足
tan α = (k1-k2)/(1+k1乘以k2)得到第二组方程,然后联立求
解...如果有解则求解,没有则不存在
即-(x+a/2)^2+a^2/4-1≤b≤-(x+a/2)^2+a^2/4+1
现把等式两边a看做已知量,左边在x=-a/2的时候有最大值,而根据题目条
件x总能取到-a/2这个值,所以左边的最大值为a^2/4-a,
因为a/2是个正数,所以右边在x=1的时候有最小值,为
-(1+a/2)^2+a^2/4+1 = a
所以,原不等式等价于(a^2/4)-1≤b≤-a
2、(1)就是到(根号2,0)和(-根号2,0)的距离和为2×根号3的点的轨迹
椭圆,方程是x^2/3+y^2=1
(2)设直线为y=kx+b,联立椭圆的
(3k^2+1)x^2+6bkx+3b^2-3=0
用韦达定理得x1+x2和x1×x2的两个方程,
然后利用BM=BN得到一组方程,接着利用BM到BN的夹角α满足
tan α = (k1-k2)/(1+k1乘以k2)得到第二组方程,然后联立求
解...如果有解则求解,没有则不存在
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解:
1,|f(x)|≤1,等价于 f(x)≥-1,且f(x)≤1,
由f(x)≥-1,即x²+ax+b+1≥0,
令g(x)=x²+ax+b+1≥0,
由于图像开口向上,且x∈[-1,1],
对称轴x=-a/2,由于a∈(0,1/2),故 -a/2 ∈(-1/4,0)
要使g(x)在 x∈[-1,1] 上 ≥0,而对称轴也是在此区间内,只需满足
△≤0,即 a²-4(b+1)≤0,解得
b≥a²/4-1......................................i
由f(x)≤1,即x²+ax+b-1≤0,
令h(x)=x²+ax+b-1≤0,
由于图像开口向上,且x∈[-1,1],
对称轴x=-a/2,由于a∈(0,1/2),故 -a/2 ∈(-1/4,0)
要使h(x)在 x∈[-1,1] 上 ≤0,而对称轴也是在此区间内,只需满足
△≥0,即 b≤a²/4+1
且h(-1)≤0,即 1-a+b-1≤0,即b≤a
且h(1)≤0,即 1+a+b-1≤0,即b≤-a
又0<a<1/2
联立此三个不等式,得
b≤-a ......................................ii
将 i 、ii 取交集,得
a²/4-1≤b≤-a
2,
1,|f(x)|≤1,等价于 f(x)≥-1,且f(x)≤1,
由f(x)≥-1,即x²+ax+b+1≥0,
令g(x)=x²+ax+b+1≥0,
由于图像开口向上,且x∈[-1,1],
对称轴x=-a/2,由于a∈(0,1/2),故 -a/2 ∈(-1/4,0)
要使g(x)在 x∈[-1,1] 上 ≥0,而对称轴也是在此区间内,只需满足
△≤0,即 a²-4(b+1)≤0,解得
b≥a²/4-1......................................i
由f(x)≤1,即x²+ax+b-1≤0,
令h(x)=x²+ax+b-1≤0,
由于图像开口向上,且x∈[-1,1],
对称轴x=-a/2,由于a∈(0,1/2),故 -a/2 ∈(-1/4,0)
要使h(x)在 x∈[-1,1] 上 ≤0,而对称轴也是在此区间内,只需满足
△≥0,即 b≤a²/4+1
且h(-1)≤0,即 1-a+b-1≤0,即b≤a
且h(1)≤0,即 1+a+b-1≤0,即b≤-a
又0<a<1/2
联立此三个不等式,得
b≤-a ......................................ii
将 i 、ii 取交集,得
a²/4-1≤b≤-a
2,
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