Question

高二问两道数学题 求教

1、f(x)=x^2 + ax + b，a∈(0，1/2)，x∈[-1，1]，求证：｜f(x)｜≤1的充要条件是(a^2/4)-1≤b≤-a。
2、在平面直角坐标系中，若向量a=(x-根号2，y)，向量b=(x+根号2，y)
且｜向量a｜+｜向量b｜=2×根号3。
(1)求动点Q(x，y)的轨迹C的方程； （其实就是一个椭圆 这个问没什么好说的）
(2)已知向量OB=(0，-1)，是否存在斜率为k(k≠0)的直线L，L与曲线C相交于M、N两点，使向量BM与向量BN的夹角为60°，且｜向量BM｜=｜向量BN｜。若存在，求出k值，并写出直线L的方程；若不存在，请说明理由。 求助 谢谢

Answer 1

1、|x^2+ax+b|≤1,也就是-1≤x^2+ax+b≤1,所以 -x^2-ax-1≤b≤-x^2-ax+1
即-（x+a/2)^2+a^2/4-1≤b≤-（x+a/2)^2+a^2/4+1
现把等式两边a看做已知量，左边在x=-a/2的时候有最大值，而根据题目条
件x总能取到-a/2这个值，所以左边的最大值为a^2/4-a,
因为a/2是个正数，所以右边在x=1的时候有最小值，为
-（1+a/2)^2+a^2/4+1 = a
所以，原不等式等价于(a^2/4)-1≤b≤-a
2、（1）就是到（根号2，0）和（-根号2，0）的距离和为2×根号3的点的轨迹
椭圆，方程是x^2/3+y^2=1
（2）设直线为y=kx+b,联立椭圆的
（3k^2+1）x^2+6bkx+3b^2-3=0
用韦达定理得x1+x2和x1×x2的两个方程，
然后利用BM=BN得到一组方程，接着利用BM到BN的夹角α满足
tan α = (k1-k2)/(1+k1乘以k2)得到第二组方程，然后联立求
解...如果有解则求解，没有则不存在

Answer 2

解：
1，|f(x)|≤1，等价于 f(x)≥-1，且f(x)≤1，

由f(x)≥-1，即x²+ax+b+1≥0，
令g(x)=x²+ax+b+1≥0，
由于图像开口向上，且x∈[-1,1]，
对称轴x=-a/2，由于a∈(0,1/2)，故 -a/2 ∈(-1/4,0)
要使g(x)在 x∈[-1,1] 上 ≥0，而对称轴也是在此区间内，只需满足
△≤0，即 a²-4(b+1)≤0，解得
b≥a²/4-1......................................i

由f(x)≤1，即x²+ax+b-1≤0，
令h(x)=x²+ax+b-1≤0，
由于图像开口向上，且x∈[-1,1]，
对称轴x=-a/2，由于a∈(0,1/2)，故 -a/2 ∈(-1/4,0)
要使h(x)在 x∈[-1,1] 上 ≤0，而对称轴也是在此区间内，只需满足
△≥0，即 b≤a²/4+1
且h(-1)≤0，即 1-a+b-1≤0，即b≤a
且h(1)≤0，即 1+a+b-1≤0，即b≤-a
又0<a<1/2
联立此三个不等式，得
b≤-a ......................................ii

将 i 、ii 取交集，得

a²/4-1≤b≤-a

2，