Question

在△ABC中，∠BAC=2∠ACB,D是⊿ABC内一点，且有AD=CD,BD=BA,探究∠DBC的度数和∠ABC的度数之比

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Answer 1

作BM‖AC，并使∠MCA=∠BAC
∵∠BAC≠90° ∴∠MCA+∠BAC≠180° ∴AB不平行于CM
又∵BM‖AC，且∠MCA=∠BAC ∴四边形MCAB是等腰梯形 ∴AB=CM
∵AD=CD ∴∠DCA=∠DAC
又∵∠MCA=∠BAC ∴∠MCA－∠DCA=∠BAC－∠DAC 即 ∠MCD=∠BAD
∴△MCD≌△BAD ∴MD=BD
又∵BD=BA，BA=MC ∴MD=BD=BA=MC
∵∠MCA=∠BAC，∠BAC=2∠ACB ∴∠MCA=2∠ACB ∴∠MCB=∠ACB
∵BM‖AC ∴∠ACB=∠MBC ∴∠MCB=∠MBC ∴MC=MB ∴MB=MD=BD
∴△MDB为等边三角形 ∴∠MBD=60 ∴∠BCA=∠MBC=∠MBD－∠CBD=60°－∠CBD
∵∠BAC=2∠ACB=2（60°－∠CBD）=120°－2∠CBD
∵在△ABC中，∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°
∴（60°－∠CBD）+（120°－2∠CBD）+（∠CBD+∠ABD）=180°∴∠ABD=2∠CBD
∴∠DBC：∠ABC=∠DBC：（∠ABD+∠DBC）=∠DBC：3∠DBC=1：3