Question

如图,在平面直角坐标系中,0为原点,点A在x轴的正半轴上,点B在y轴的正半轴上,OB=2OA.

如图,在平面直角坐标系中,0为原点,点A在x轴的正半轴上,点B在y轴的正半轴上,OB=2OA.抛物线m：y=x的平方+bx+2经过A.B点，顶点为D
（1）求抛物线m的解析式
（2）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC.CE⊥x轴于E。将抛物线m沿y轴向上平移的到经过点C的抛物线n。求点C的坐标和抛物线n的解析式
（3）设（2）中所得抛物线n于y轴交于点B‘，顶点为D’，点P在抛物线n上，且满足△PBB'的面积是△PDD‘的面积的2倍。求点P的坐标

Answer 1

解：由题可知B（0，2），A（1，0），将A（1，0）代入y =x平方+bx+2中，得b=-3，所以所求解析式为y =x平方-3x+2
(2)可得三角形ABO全等三角形EAC，所以AE=BO=2，CE=AO= 1，所以C（3，1）
与B点关于对称轴对称的点M （3，2）所以直线m向下平移1个单位长度就与可使抛物线过点C ，解析n为y =x平方-3x+1
（3）由题可知D（1.5， -0.25） ， 所以B‘（0，1），D’（1.5， -1.25）
BB‘=1=DD', 令P的横坐标为x，则纵坐标为x平方-3x+1， 当0<x<1.5时，x*1 = （1.5-x）*2， 所以x=1， x平方-3x+1 = -1,所以P（1，-1）
当1.5<x时， x*1 =2( x-1.5)*1,解得，x = 3， 所以x平方-3x+1= 1，所以P（3，1）
综上所述，P（1，-1）或P（3，1）