Question

若n阶矩阵A满足A^2+2A+2E=O,证明：A+xE（其中x为任意实数）可逆，并求其逆矩阵的表达式。

若n阶矩阵A满足A^2+2A+2E=O,证明：A+xE（其中x为任意实数）可逆，并求其逆矩阵的表达式。

Answer 1

A^2+2A+2E=O
A(A+xE)+(2-x)A+(2-x)xE-(2-x)xE+2E=0
(A+xE)[A+(2-x)E]=-(2-2x+x^2)E
-(A+xE)[A+(2-x)E]/(2-2x+x^2)=E

-[A+(2-x)E]/(2-2x+x^2)是A+xE的逆矩阵

Answer 2

A^2+2A+2E=O
A(A+xE)+(2-x)A+(2-x)xE-(2-x)xE+2E=0
(A+xE)[A+(2-x)E]=-(2-2x+x^2)E

由于2-2x+x^2=1+(x-1)^2≥1,则2-2x+x^2不等于零.
则行列式 | (A+xE)[A+(2-x)E] |=-(2-2x+x^2)≠0;
这说明(A+xE)和A+(2-x)E均可逆;

则 A+xE的逆 = -[(2-2x+x^2)]·[A+(2-x)E]

Answer 3

解 由A^2+2A+2E=O可知A的最小多项式是2次的,故它的逆阵具有aA+mE, 参看网页http://hi.baidu.com/lca001/blog/item/994d0fc7183c9b159c163de1.html
故
(A+xE)(aA+mE)=E
aA^2+(ax+m)A+(xm-1)E=O
A^2+((ax+m)/a)A+((xm-1)/a)E=O
与A^2+2A+2E=O两边比较得
(ax+m)/a =2, (xm-1)/a =2,
即ax+m=2a, xm-1=2a,
解关于a,m的方程得
a=1/(2x-x^2-2)，m=(2-x)a=(2-x)/(2x-x^2-2)
故A+xE的逆矩阵为aA+mE= A/(2x-x^2-2)+ (2-x)E/(2x-x^2-2)

Answer 4

见图

Answer 5

证明：
A^2+2A+2E=O
A(A+xE)+(2-x)A+(2-x)xE-(2-x)xE+2E=0
(A+xE)[A+(2-x)E]=-(2-2x+x^2)E
-(A+xE)[A+(2-x)E]/(2-2x+x^2)=E

-[A+(2-x)E]/(2-2x+x^2)是A+xE的逆矩阵