Question

初二数学题 急急急急急急！！！！！

在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．设线段PA，PB的中点分别为M，N．
求证：⑴△DEM≌△DFN；⑵∠PAE=∠PBF．

Answer 1

证明：(1)如图：在△DEM和△DFN中

    ∵ PF⊥FB

    ∴∠PFB=90°

 又∵N是PB的中点，

  ∴ FN=PB/2 

 在△APB中

 ∵ AD=DB  AM=MP

  ∴ DM=PB/2

  ∴ DM=FN

同理：EM=PA/2=DN

 由∵ DE=DF

∴△DEM≌△DFN （边、边、边)

(2)由（1）得：∠FND=∠DME

  又∵AD=DB  AM=MP

    MD‖PB

   同理：ND‖PA

  ∴PNDM为平行四边形

  ∴ ∠PND=∠PMD

  ∴ ∠PND+∠FND=∠PMD+∠DME

 而∠PNF=360°-（∠PND+∠FND）=360°-（∠PMD+∠DME）=∠PME

    ∵NF=NP

  ∴∠NPF=∠NFP=(180°-∠PNF)/2 

  同理：∠MPE=∠MEP=(180°-∠PME)/2 

      ∴ ∠MPE=∠NPF

   在Rt△PFB和Rt△PEA中

   ∠PAE=90°-∠MPE=90°-∠NPF=∠PBF

     ∴ ∠PAE=∠PBF

              证毕！