Question

一道初二几何数学题，关于正方形，勾股定理，谢谢。

如图，E,F,G,H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，而且AE=BF=CG=DH=1/3AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为多少？

Answer 1

三角形ABF三角形ADE三角形BCG三角形CDH ,全等三角形
AF/DE,AF/BG,CH/BG,CH/DE,都垂直
AF/BG垂直,垂足M
三角形ABM,三角形ABF,相似三角形,边长之比,3/根10,面积比9/10
设正方形ABCD的边AB,BC,CD,DA的边长=3
三角形ABF的面积=3/2

三角形ABM的面积=9/10*(3/2)=27/20
阴影部分的面积=9-4*27/20=18/5=2/5*9,

是2/5

Answer 2

比例为：2/5
过程：EO/BP=AO/AP=AE/AB=1/3(△AEO∽△ABP)
EO/AO=FB/AB=1/3(△AOE∽△ABF)
EO=PF(三角形全等)
则AO:OP:PF=3:6:1
假设AE长为1，则AB=3，AF=√10，
∴OP=3√10/5,正方形ABCD面积=AB²=9
∴阴影面积=OP²=18/5
∴阴影面积与正方形ABCD面积比=（18/5）/9=2/5

Answer 3

先设正方形的边长为a，再求证Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，再由AE=BF=CG=DH= 13AB可求出其面积，由相似三角形的判定定理可求出△DHJ、△AEL、△BFN、△CKG是直角三角形，且都全等，再根据S阴影=S□ABCD-4S△AED+4S△HDG计算即可．
解：设正方形的边长为a，则S□ABCD=a2，
∵AE=BF=CG=DH= 13AB，∴AE=BF=CG=DH= 13a，
∴AF= a2+(13a)2= 103a，
∵∠DAE=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°，∴Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，
∴S△AED= 12× 13a•a= 16a2，
∵Rt△AED≌Rt△BFA，
∴∠EAL=∠ADE，∠AEL=∠AEL，
∴∠ALE=∠DAE=90°，∴△AEL是直角三角形，
∵∠EAL=∠EAL，∠ALE=∠ABF=90°，
∴Rt△AEL∽Rt△AFB，
∴ ALAB= AEAF= ELBF，即 ALa= 13a10a3= EL13a，
解得，AL= 1010a，EL= 10a30，
∴S△AEL= 12AL•EL= 12× 1010a× 10a30= a260，
同理可得，S△AEL=S△BNF=S△CKG=S△DHJ= a260，
∴S阴影=S□ABCD-4S△AED+4S△HDG=a2-4S△AED-4S△AEL==a2-4× 16a2+4× a260= 25a2，
∴阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为 25a2：a2= 25．