Question

微积分题求极限

基本思路是求yn单调有界
主要要证明yn的极限存在啊！

Answer 1

1楼，3楼都错了，此函数不单调！！ 2楼在胡扯。。。

以下是对函数有极限的证明

假设x是一个正数，x>0 满足 x = (1-x^2)/a (其实就是那个极限，但在没证出来之前还不能乱说）那么，ax = 1- x^2

y_n+2 = (1-(y_n+1)^2)/a = (1-(1-(y_n)^2)/a)/a = 1/a - (1-(y_n)^2)^2/a^3

设 b_n = y_(2n-1) 奇数项 c_n = y_2n 偶数项
则试证：b_n > x, c_n < x
数学归纳法：

b_1 = y_1 = 1/a > 1/a - x^2/a = x
若b_n > x, b_n+1 = 1/a - (1-(b_n)^2)^2/a^3

因为0< b_n <1 , b_n >x, 0 < 1-(b_n)^2 < 1-x^2 = ax
所以b_n+1 = 1/a - (1-(b_n)^2)^2/a^3 > 1/a - (ax)^2/a^3 = (1-x^2)/a = x
归纳成立，得证。

c_n 亦然，只是把 > 换成 < 而已。

这样y_n 就是一个奇数项大于x，偶数项<x 的数列。

继续证明，b_n+1 < b_n c_n+1 > c_n

也是用数学归纳法，b_1 < b_2
如果b_n < b_n-1 试证：b_n+1 < b_n
这个证明很显然。
因为b_n = 1/a - (1-(b_n-1)^2)^2/a^3
所以b_n-1 = √(1-a√(1-ab_n)) > b_n
所以 b_n < 1/a (1- (1-(b_n)^2)^2/a^2) = b_n+1

得证，c_n 亦然，只是把 < 换成 > 而已。

这样就分别证明了b_n, c_n 单调有界，他们分别都存在极限，然后以求得b_n 的极限 通过 lim b_n+1 = lim b_n
解方程可知 b_n 的极限就是x，c_n 极限也是x，

就能证明 x 就是 y_n 的极限

x= (√(a^2+4) -a) /2

Answer 2

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Answer 3

lim(x→∞)｛(x-3)^12(2x+1)^8/(3x-1)^20｝
=lim(x→∞)｛(1-3/x)^12(2+1/x)^8/(3-1/x)^20｝
=2^8/3^20
lim(x→+∞)｛(3x³+5x²+4)/[(√x^6)+2]｝
=lim(x→+∞)｛(3x³+5x²+4)/[(x^3)+2]｝
=3
lim(x→∞)[x+³√(1-x³)]
=lim(x→∞)[x+³√(1-x³)][x^2-x³√(1-x³)+³√(1-x³)^2]/[x^2-x³√(1-x³)+³√(1-x³)^2]
=lim(x→∞)1/[x^2-x³√(1-x³)+³√(1-x³)^2]
=0
lim(x→1)｛[√(x+3)-2]/√x-1}
=lim(x→1)｛[√(x+3)-2][√(x+3)+2]/[√x-1][√(x+3)+2]｝
=lim(x→1)[√x-1]/[√(x+3)+2]
=0

0

Answer 4

首先由y1和递推关系可以确定yn>0.
用yn-yn-1得到关于yn-1的二次函数,可以知道在两根为[-a±√(a^2+4)]/2,yn-1在两根之间时yn-yn-1>0,否则<0
可以证明yn的奇偶子列分别在([-a+√(a^2+4)]/2,1)和(0,[-a+√(a^2+4)]/2])内.
再分别证明这两个子列单调.求出它们的极限,相等.则说明yn收敛