Question

从1、2、3、4……20这20个自然数中任选3个不同的数，使他们成等差数列，则这样的等差数列最多有多少个？

Answer 1

这样的等差数列最多有180个。

假定这是一个增数列，则首项最小为1，第三项最大为20。

所以公差d≤(20-1)/2=9.5，即公差最大为9。

分类讨论公差为1，2，3，…，9，共有18+16+......+2=90种。因为上述每个数列倒过来（减数列）又是一个新的等差数列，所以总共有180种。

特点：

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1,3,5,7,9……2n-1。通项公式为：an=a1+(n-1)*d。首项a1=1，公差d=2。前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。注意：以上n均属于正整数。

Answer 2

公差为1:(1 2 3) (2 3 4 ).....最后一个数从3到20有18个
同理公差为2:(1 3 5) (2 4 6).....最后一个数从5到20有16个
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公差为9:(1 10 19) (2 11 20)有两个;
故共有:18+16+......+2=180;

Answer 3

我又更好的办法哦

若a,b,c成等差数列，则a+c=2b.因a,b,c为自然数，所以a+c为偶数。
问题即从1～20中选出两个数作为等差数列的第一（a)、三(c)项，它们的和为偶数，两类：一是从10个奇数中任选两个，有C2\10＝45种；
二是从10个偶数中任选两个，有C2\10＝45种，共有90种，又每个数列可以逆序，所以共有90×2＝180个等差数列。