Question

数学题不会做

已知一条直线过点P(2,3) 求它与两坐标轴的正方向所围成的三角形面积最小时的方程

Answer 1

首先，这条直线的斜率必定存在，否则就和y轴没有交点了
然后，设该直线为y=k(x-2)+3,
令y=0得出直线与x轴的交点为（2-3/k,0）,
令x=0得出直线与y轴的交点为（0，-2k+3）
因为是与坐标轴正方向相交，所以2-k/3>0,-2k+3>0
解得k的范围是k<0
然后三角型面积为1/2×（2-3/k）×(-2k+3) = 1/2×(12-4k-9/k)
因为k是负的，所以-k是正的
所以-4k-9/k=4(-k)+9/(-k)≥ 2×根号[4(-k)×9/(-k)]=12
等号在4(-k)=9/(-k)，级k=-3/2时取到
所以面积最小时直线方程为y=-3/2(x-2)+3

Answer 2

设方程为y=kx+b
将P(2,3) 带入，得
3=2k+b b=3-2k
所以y=kx+3-2k
与x、y轴分别交于（0,3-2k）（2-3/k）
要与两坐标轴的正半轴围成三角形，则k＜0
s=(3-2k)×(2-3/k)÷2=12-4k-9/k
因为k＜0,所以-4k-9/k＞0
所以s最小为12
最后一步可以用极限法考虑，因为k不等于0，当k小于0，当k很接近0是，s最小，故k用0代入

Answer 3

解：因为要与两坐标轴正方向有交点，所以设y=-kx+b其中k>0
代入点P，3=-2k+b,∴b=3+2k,∴y=-kx+2k+3
直线与X轴交点A（2+3/k,0)，与Y轴交点B（0,2k+3)
三角形面积S=（2k+3)(2+3/k)
=4k+9/k+12
对S求导函数得S’=4-9/k²
其中当k≥3/2时，S’≥0，即S递增
当k＜3/2时，S’＜0，即S递减
所以当k=3/2时，S取得最小值
所以直线函数为y=-3/2x+6

Answer 4

…手机太慢