Question

已知函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点

(一)若函数的两个零点是-1和-3,求K得值
(二)若函数的两个零点是a和b,求a2+b2的取值范围

Answer 1

解：
(1)
对于方程x^2-(k-2)x+k^2+3k+5=0
由韦达定理，得
(-1)+(-3)=k-2
(-1)(-3)=k^2+3k+5
解得k=-2
(2)
函数有两个零点，对于方程x^2-(k-2)x+k^2+3k+5=0，判别式>0
[-(k-2)]^2-4(k^2+3k+5)>0
整理，得
3k^2+16k+16<0
(k+4)(3k+4)<0
-4<k<-4/3

由韦达定理，得
k-2=a+b
k^2+3k+5=ab
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
=(k-2)^2-2(k^2+3k+5)
=-k^2-10k-6
=-(k+5)^2+19
对称轴k=-5在-4左侧，-k^2-10k-6单调递减。
-(k+5)^2+19<(-4+5)^2+19=20
-(k+5)^2+19>(-4/3+5)^2+19=292/9
292/9<a^2+b^2<20

a^2+b^2的取值范围为(292/9,20)

Answer 2

这个题很简单的.总的来说就是韦达定理的应用.
第一问,楼主会做吧?把两个零点代入就可以求得啦
第二问 a2+b2=(a+b)^2-2ab
a,b,实际上就是这个方程的两个根,根据韦达定理.即可.

Answer 3

一、利用韦达定理，x1+x2=k-2、x1x2=x2+3k+5得出k-2=-4，k2+3k+5=3解得k=-2,k=1（舍去）
二、其实和上一问一样的a2+b2=(a+b)2-2ab=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-(k+5)2+19.
∵f(x)有两个零点。Δ=（k-2)2-4（k2+3k+5)>0∴-4<k<-4/3带入-（k+5)2+19能算去a2+b2的取值范围是（50/9,18）