Question

高中数学，最大利润问题急

已知企业有职工4a人（160＜4a<500），每名职工每年可为企业创利m万元。若目前有如下调研信息，在经营条件不变，每少1人，则留岗职工每人每年多创利0.01m万元，但公司要付内退职工每人每年0.4m万元，且公司正常运转人数不得少于现有职工总数的3／4为获得最大效益，该内退多少人？ 在线等…

Answer 1

设内退X人，那么留岗人员多创立 0.01mX（4a-X） 万元
公司支付退职工 0.4mX 万元
由于公司正常运转人数不得少于现有职工总数的3／4，且160＜4a<500，所以0<=X<=a;
设企业可获效益为Y，则有
Y = m(4a-X) + 0.01mX（4a-X）- 0.4mX =4ma-0.01[X-(2ma-70)/m]2(中括号的平方)+0.01(2a-70/m)2(小括号的平方)
分类讨论,由0<=X<=a对(2ma-70)/m展开讨论
（1）当(2ma-70)/m<0即m<35/a, Y在X=0时取得最大值，此时Y=4ma<140;
(2) 当0<=(2ma-70)/m<=a即a/35<=m<=70/a,Y=4ma+0.01(2a-70/m)2(小括号的平方）140<=Y<=182+2.1a,且a值越大效益越高；
(3)当(2ma-70)/m>a即m>70/a,Y在X=a时取得最大值，Y=2.6ma+0.03ma*a>182+2.1a且a值越大效益越高；
而40<a<125
综上所述，应该内退125人

Answer 2

设内退b人，净利润为L
内退赔偿=0.4mb
内退后人数=（4a-b）
内退后每人创利=m（1+0.01b）
L=（4a-b）（1+0.01b）m-0.4mb
L/m=（4a-b）（1+0.01b）-0.4b
100L/m=（4a-b）（100+b）-40b
=-b^2-140b+4ab+400a
=-[b-(2a-70)]^2+400a+(2a-70)^2
当b=2a-70时为最大

内退后总人数为4a-b=2a+70
4a=160时，2a+70=150，大于3/4
4a=500时，2a+70=320，小于3/4
如果恰好2a+70=3a，则a为70人，b为70即全场工人为280人时。

则有，当全场员工少于等于280人时，内退2a-70（280人时内退70人）可使利润最大。

若全厂员工在280至500之间，因为该方程是一条开口向下的抛物线，横坐标距b=2a-70最近的点可使函数取最大值。即，内退4a*1/4=a人