已知数列｛an｝满足a1=1,a[n+1]=2a[n]+1(n∈N） 证明：n/2-1/3<a1/a2+a2/a3+…+a[n-1]/a[n]<n/2(n∈N）
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解
a[n+1]=2a[n]+1，a[n+1]+1=2（a[n]+1）
所以{a[n]+1}是以1+1=2为首项，公比2的等比数列
a[n]=2^n-1
a[n-1]/a[n]=1/2-1/2(2^n-1)<1/2
所以a1/a2+a2/a3+…+a[n-1]/a[n]<n/2
当n=1时，1/2(2^n-1)=1/2，1/2-1/3<1/2-1/2成立
当n>1增加时，1/2(2^n-1)减小，总小于1/2
所以a1/a2+a2/a3+…+a[n-1]/a[n]>n/2-1/3
a[n+1]=2a[n]+1，a[n+1]+1=2（a[n]+1）
所以{a[n]+1}是以1+1=2为首项，公比2的等比数列
a[n]=2^n-1
a[n-1]/a[n]=1/2-1/2(2^n-1)<1/2
所以a1/a2+a2/a3+…+a[n-1]/a[n]<n/2
当n=1时，1/2(2^n-1)=1/2，1/2-1/3<1/2-1/2成立
当n>1增加时，1/2(2^n-1)减小，总小于1/2
所以a1/a2+a2/a3+…+a[n-1]/a[n]>n/2-1/3
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