Question

高二数学，椭圆题目，急！！！

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两个顶点A(a,0)、B(0,B)，右焦点F，且F到直线AB的距离等于F到原点的距离，则离心率等于（）。
A.e<√2-1
B.e>√2/2
C.e<√2/4
D.e>√2-1

完整答案，要有解体步骤，完了加10分

Answer 1

AB:x/a+y/b=1,即bx+ay-ab=0,
F(c,0)到AB的距离|bc-ab|/√(a^2+b^2)=c,
∴|bc-ab|=c√（a^2+b^2),
平方得b^2*(c^2-2ac+a^2)=c^2*(a^2+b^2),
把b^2=a^2-c^2代入上式，化简得
2c^3-2ac^2-2a^2*c+a^3=0,
都除以a^3,得
f(e)=2e^3-2e^2-2e+1=0,
f(√2-1）≈-0.029，f(0.4)=0.008,
∴0.4<e<√2-1，
或2e^2-1.2e-2.48≈0，e2≈1.45(舍），e3<0,
选A.

Answer 2

sinOAB=b/√(a^2+b^2)=c/(a-c)<1 所以：a>2c e<0.5
平方化简后：
c^2/(a-c)^2=b^2/(a^2+b^2)=(a^2-c^2)/(2a^2-c^2)
即：e^2/(1-e)^2=(1-e^2)/(2-e^2)
有：e+e^2-e^3=0.5
又因为e<0.5 0.5=左边<e+e^2-0.5e^2=e+0.5e^2<e+0.5*0.5*0.5=e+0.125
即： 0.5<e+0.125
e<0.375
所以：只有C成立

Answer 3

C 用椭圆的第二定义