Question

设X1=10，Xn+1=（6+Xn）^（1／2），n=1，2，。。。证明数列{Xn}极限存在

重点讲下这数列单调性和有界的放缩，不要数归，在线等！还有如果改为X1=a^（1／2），Xn=（a+Xn-1）^（1／2），（a＞0），证明极限存在。的话就单调递增了，这类题的单调性怎么求？不要数归！

Answer 1

首先 xn > 0.

x(n+1)^2 = 6 + xn
x(n+1)^2 - 9 = xn - 3
x(n+1) - 3 = (xn - 3) / (x(n+1) + 3)
因 x1 > 3, 由上式， xn > 3 对一切xn 成立。

于是

x(n+1) - 3 = (xn - 3) / (x(n+1) + 3) < （xn - 3）/3
即 {xn-3 | n = 1, 2,...} 是正数递减序列， 所以极限存在。
易得到其极限为0. 所以原数列极限为3

Answer 2

数归证数列单减然后数归证全都大于3 故极限为3