Question

在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AB=DE=3,AC=2DF=4,两三角形是否相似?

在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AB=DE=3,AC=2DF=4,
（1）两三角形是否相似?为什么？
（2）能否分别过A,D在这两个三角形中各作一条辅助线，使△ABC分割成的两个三角形与△DEF分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论。

Answer 1

根据已知及相似三角形的判定方法进行分析即可．
解：（1）不相似．（1分）
∵在Rt△BAC中，∠A=90°，AB=3，AC=4；
在Rt△EDF中，∠D=90°，DE=3，DF=2，
∴ ABDE=1，ACDF=2
∴ ABDE≠ACDF
∴Rt△BAC与Rt△EDF不相似．（4分）

（2）能作如图所示的辅助线进行分割．
具体作法：作∠BAM=∠E，交BC于O；作∠NDE=∠B，交EF于N．（7分）
由作法和已知条件可知△BAM≌△DEN（8分）
∵∠BAM=∠E，∠NDE=∠B，∠AMC=∠BAM+∠B，∠FND=∠E+∠NDE
∴∠AMC=∠FND（9分）
∵∠FDN=90°-∠NDE，∠C=90°-∠B
∴∠FDN=∠C
∴△AMC∽△FND（10分）
此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似，②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．

Answer 2

(1)两三角形不相似。因为△ABC中,∠B和∠C的正切值分别为3/4和4/3，△DEF中,∠E和∠F的正切值分别为3/2和2/3，它们不会相等，因此不会相似。
（2）可以。因为,∠B+∠C=90°,∠E+∠F=90°若辅助线交BC于G，交EF于H，使∠BAG=∠F,∠EDH=∠C，则△BAG∽△DFH，△CAG∽△DEH。

Answer 3

证明：（1）如图1，连接DE，
∵AC=mBC，CD⊥AB，当m=1，n=1时
∴AD=BD，∠ACD=45°，
∴CD=AD=12AB，
∵AE=nEC，
∴DE=AE=EC=12AC，
∴∠EDC=45°，DE⊥AC，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠EDG，
∵EF⊥BE，
∴∠AEF+∠FED=∠FED+∠DEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG．

（2）解：EF=1nEG，
证明：如图2，作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴EMCD=
AEAC=1n+1，
即EM=1n+1CD，
∵EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，
∴ENAD=
CEAC=nn+1
∴EN=nn+1AD，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
又∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴CDAD=BCAC=1，
∴EMEN=1×1n=1n，
又∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENG=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEM=∠GEN，
∴△EFM∽△EGN，
∴EFEG=EMEN=1n，
即EF=1nEG；

（3）EF=1mnEG．

Answer 4

因为；a=d=90.