Question

已知椭圆的中心在坐标原点O,长轴长2倍根号2，离心率e=根号2/2,过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点

1求椭圆的方程
2当直线l的斜率为1时，求三角形POQ的面积
3若以OP，OQ为邻边的平行四边形为矩形，求满足该条件的直线l的方程

Answer 1

1.由题意得：a=2倍根号2,e=根号2/2
所以：c=a*e=2*根号2/2=2;b=根号(a平方-c平方）=2.
所以椭圆的方程是：x平方+2y平方-8=0

2.令直线方程为：y=x-2,则可得方程组：
y=x-2
x平方+2y平方-8=0
解方程组得：
x1=0,y1=-2;
x2=8/3;y2=2/3;
设P点的坐标为（0，-2），则Q点的坐标为（8/3,2/3).
三角形POQ面积=1/2(|y1|*|x2|)=1/2(|-2|*|8/3|)=8/3

3.若以OP，OQ为邻边的平行四边形为矩形，满足该条件的直线l的方程不存在。
证明：因为OP、OQ为邻边的平行四边形为矩形，所以OP垂直OQ。
令过椭圆右焦点F的直线l的方程为y=kx-2
则：x平方+2（kx-2)平方-8=0；
化简得：（1+2k平方）x平方-8kx=0
所以：x1+x2=8k/(1+2k平方），x1*x2=0;
因为OP垂直OQ，所以(y1/x1)*(y2/x2)=(y1*y2)/(x1*x2)=-1，得x1*x2不等于0
所以，满足该条件的直线l的方程不存在。

Answer 2

解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为． ----------------1分
∵长轴长为,离心率，∴．
所求椭圆方程为． ---------------- 4分
（Ⅱ）因为直线过椭圆右焦点，且斜率为，所以直线的方程为．
设，
由 得 ，解得 ．
∴ ． ---------------9分
（Ⅲ）当直线与轴垂直时，直线的方程为，此时小于，为邻边的平行四边形不可能是矩形．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为．
由 可得．
∴．
，
因为以为邻边的平行四边形是矩形.
由得，
.
所求直线的方程为． ----------------13分