Question

高中数学函数，急！

已知函数，f(x)在（负无穷，正无穷）上单调递减，且满足f(x+y)=f(x)·f(y)，f(2)=1/9，解不等式f(x)·f(3x-1)<1/27

Answer 1

因f(x+y)=f(x)f(y)
故f(x)f(3x-1)=f[(x)+(3x-1)]=f(4x-1)

令x=1,y=1得f(2)=[f(1)]²=1/9
因为令x=y=1/2 可得f(1)=[f(1/2)]²
所以f(1)=1/3 ,负的舍去
所以有f(3)=f(1+2)=f(1)f(2)=f(1)f(1+1)=f(1)f(1)f(1)=1/27

原不等式可化为f(4x-1)<f(3)
根据单调递减得4x-1>3
即x>1

Answer 2

f(2)=f(1)^2
因为f(x)在（负无穷，正无穷）上单调递减 f(1)=1/3
f(3)=f(1)·f(2)=1/27
f(x)·f(3x-1)=f(4x-1)<1/27
则4x-1>3
x>1

Answer 3

f(x+y)=f(x)·f(y)
y=x时，f(2x)=f(x)^2
f(x)=f(x/2)^2＞0，[因函数单调递减，f(0)＞0，要使f(x)=0，只有在(0,∞)上才有可能，所以x＞x/2,则f(x)＜f(x/2),与f(x)=f(x/2)^2=0矛盾，所以f(x)≠0]

f(2)=f(1)^2=1/9
f(1)=±1/3
又f(2)＜f(1),所以f(1)=1/3
y=0时，f(x)=f(x)·f(0)
f(0)=1
f(0)=f(1)*f(-1)=(1/3)f(-1)=1
f(-1)=3
f(3)=f(2)f(1)=1/27
f(x)·f(3x-1)=f(x+3x-1)
=f(4x-1)
=f(4x)*f(-1)
=3f(4x)
=3f(2x)^2
=3f(x)^4
＜1/27
f(x)^4＜(1/3)^4
-1/3＜f(x)＜1/3
所以0＜f(x)＜1/3
x＞1

Answer 4

解：
(1)导函数是f‘(x)=3ax^2+2bx-3
因为函数f(x)=ax^3+bx^2-3x(a不等于0)在x=正负1处取的极值
所以f‘(1)=f‘(-1)=0
所以3a+2b-3=0和3a-2b-3=0
解得：a=1,b=0
(2)f‘(x)=3x^2-3
当x<-1或x>1时，f‘(x)>0.为增函数。
当-1<x<1时，f‘(x)<0.为减函数。
所以f(-1)是函数f(x)的极大值，f(1)是极小值