Question

数学选修1-1命题的题，急！

已知p:"直线x+y-m=0与圆(x-1)^2+y^2=1相交"q:"mx^2-x+m-4=0有一正根和一负根"
若pVq为真，横折p为真，求m的取值范围

Answer 1

解:"p或q为真,p且q为假"包括两种情况:(一).p真q 假.p真:直线x+y-m=0与园(x-1)^2+y^2=1相交,说明直线与园心(1,0)的距离小于或等于园的半径,即有不等式:｜1-m｜/√2≤1,即｜1-m｜≤√2,故有-√2≤1-m≤√2, -1-√2≤-m≤√2-1,由此得1-√2≤m≤1+√2.q假:若方程mx^2-x+m-4=0有两个正根或两个负根或一个重根或没有根都是命题q为假的含意.(1).有两个正根x1>0,x2>0.此时x1+x2=-1/m>0..............(1)x1x2=(m-4)/m>0............(2)由(1)(2)联立求解得m<0(2).有两个负根x1<0,x2<0,此时x1+x2=-1/m<0...............(3)x1x2=(m-4)/m>0.............(4)由(3)(4)联立求解得m>4.(3).有一个重根或没有根.此时判别式△=1-4m(m-4)=-4m^2+16m+1≤0即4m^2-16m-1≥0,解之得m≤(4-√17)/2或m≥(4+√17)/2.综上分析,有:{m<0}∪{m>4}∪{m≤(4-√17)/2}∪{m≥(4+√17)/2}∩{1-√2≤m≤1+√2}=Ф即p真q假无解,也就是说p真q假是不可能的.(二)p假q真.p假:此时直线与园心的距离大于园的半径,即有不等式:｜1-m｜>√2由此得m<1-√2或m>1+√2.q真:方程mx^2-x+m-4=0确有一正根和一负根,此时可设x1<0,x2>0,于是x1x2=(m-4)/m<0............(5)△=1-4m(m-4)>0............(6)由(5)得0<m<4,由(6)得(4-√17)/2<m<(4+√17)/2{0<m<4}∩{(4-√17)/2<m<(4+√17)/2}={0<m<4}通过以上分析可知符合题意的m的取值范围为:{m<1-√2或m>1+√2}∩{0<m<4}={1+√2<m<4}即m的取值范围为:1+√2<m<4.※用m=3检验之:此时直线x+y-3=0与园心(1,0)的距离=｜1-3｜/√2=√2>1,直线与园相离(p假)而方程3x^2-x-1=0的根x=[1±√(1+12)]/6=(1±√13)/6,确有一正根和一负根即q真.※若m∈(1-√2,0)是正确的,那么取m=-0.2试一试:直线x+y+0.2=0与园心(1,0)的距离=｜1+0.2｜/√2=1.2/√2=0.6√2<1,即直线与园相交,即p真.方程0.2x^2-x-3.8=0的根为x=(1±√(1+3.04)/0.4=(1±√4.04)/0.4有一正根和一负根,即q真.也就是说若m∈(1-√2,0),则p真q亦真,这与题意不符!