Question

设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点， 　　点C在抛物线的准线上，

设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点， 　　点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，证明AC经过原点O。
帮帮忙，谢了

Answer 1

需增加条件：抛物线y^2=2px（p>0),①
焦点F(p/2,0),准线：x=-p/2.
AB:x=my+p/2,
代入①，整理得
y^2-2mpy-p^2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1y2=-p^2,
点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，
∴C(-p/2,y2),
AC的斜率=（y1-y2)/(x1+p/2),
AO的斜率=y1/x1.
AC经过原点O，
<==>(y1-y2)/(x1+p/2)=y1/x1,
<==>-2x1y1y2=py1^2,
<==>y1^2=2px1,
上式成立，命题成立。