Question

8，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(0,-1)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，

若AB的中点为（2，-2），则直线l的方程为？

Answer 1

解：根据题意得：抛物线的方程为：x²=-4y，设A、B两点坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2），
则：(x1)²=-4y1,(x2)²=-4y2，所以：(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1-y2),
由AB的中点为（2，-2）得：x1+x2=4,所以(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1-y2)可化为：
4(x1-x2)=-4(y1-y2)，所以：(y1-y2)/(x1-x2)=-1，即：直线AB的斜率是-1，
又AB的中点为（2，-2），所以直线AB的方程为：y+2=-(x-2)，即：y=-x

Answer 2

抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(0,-1)，
则C：x^2=-4y
若L垂直于x轴，（k不存在）只有一个交点，不成立

若L不垂直于x轴，（k存在）设直线方程y+2=k(x-2)

（点差法）
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1^2=-4y1.......(1)
x2^2=-4y2......(2)
(1)-(2)得：-4(y1-y2)=(x1-x2)(x1+x2)
因为k=(y1-y2)/(x1-x2)=-(x1+x2)/4
又AB的中点为（2，-2），
所以x1+x2=4
即k=-1
L：y+2=-(x-2),即：y=-x