Question

高中数学圆锥曲线。此题偏难，高手进。

Answer 1

已知抛物线C：y^2=2px和圆M：(x-4)^2+y^2=1，过抛物线C上一点H(x0,y0)(y0>=1)作二条直线分别为切圆M于A,B，分别交抛物线于E,F，圆心M到抛物线准线的距离为17/4。
(1)当∠AHB的平分线垂直X轴时，求直线EF的斜率；
(2)若直线AB在Y轴上的截距为r，求r的最小值。

（1）解析：由题意：∵M(4,0)到抛物线y^2=2px的准线的距离为17/4，
∴准线为x=-1/4，p=1/2==>抛物线C的方程为y^2=x
∵∠AHB的平分线HM⊥x轴∴H(4,±2），
当H(4,2)时，设HA(HB)的方程为y-2=k(x-4)==>kx-y+2-4k=0,
∴M到HA的距离=2/√(k^2+1)=1,
∴k^2=3==>k=±√3，
将HA的方程y=√3x+2-4√3代入抛物线，
得3x^2+(4√3-25)x+52-16√3=0，
xh=4,xe=(13-4√3)/3，
∴E((13-4√3)/3，(√3-6)/3)
同理可得F((13+4√3)/3,(-√3-6)/3),
∴EF的斜率=(2/√3)/(-8/√3)=-1/4，
当H(4,-2)时，应用上述方法求得EF的斜率=1/4.

(2)解析：设A(x1,y1)，B(x2,y2)在圆(x-4)^2+y^2=1上，则切线HA,HB为
(x1-4)(x-4)+y1y=1，(x2-4)(x-4)+y2y=1
∵HA,HB交于H(x0,y0),
∴AB方程：(x0-4)(x-4)+y0y=1,
它在y轴上的截距r=[1+4(x0-4)]/y0=[4y0^2-15]/y0=4y0-15/y0
∵y0>=1，
∴r的最小值=-11.