Question

高中数学难题

已知数列 an=1/（n+1）,若对于任意正整数n,不等式S2n-Sn>m/16恒成立,则常数m所能取得的最大整数为

Answer 1

解答：
S(2n)-Sn=[1/2+1/3+1/4+....+1/(n+1)+1/(n+2)+.....+1/(2n+1)]-[1/2+1/3+1/4+....+1/(n+1)]
=1/(n+2)+.....+1/(2n+1)
设bn=S(2n)-S(n)
则 b(n+1)-b(n)=[1/(n+3)+1/(n+4)+....+1/(2n+1)+1/(2n+2)]+1/(2n+3)-[1/(n+2)+1/(n+3)+.....+1/(2n+1)]
=1/(2n+2)+1/(2n+3)-1/(n+2)
>0
∴ {bn}是递增的
则{bn}的最小值是b1
即 b1>m/16

追答

还有过程如下:
b1=S(2)-S(1)=(a1+a2)-a1=a2=1/3
即1/3>m/16
即 m<16/3
∴ m的最大值是5

Answer 2

S2n-Sn>13/24 要是换成16分之的话整数最大取6 需要步骤么？