Question

能否在实数和复数范围内分别分解因式x^4+x^3+x^2+x+1?谢谢~~

这是06年北京大学自主招生试题哦~~

Answer 1

x^4+x^3+x^2+x+1
=x^2[x^2+x+1+1/x+1/x^2]
=x^2[(x+1/x)^2+(x+1/x)-1]
=x^2[(x+1/x)^2+(x+1/x)+1/4-5/4]
=x^2[(x+1/x+1/2)^2-5/4]
=x^2(x+1/x+1/2-√5/2）(x+1/x+1/2+√5/2）
=(x^2+1+x/2-√5x/2）(x^2+1+x/2+√5x/2）

追问

还有复数范围内呢？

追答

原式＝（x^5-1）/(x-1)
先求出x^5－1＝0的根，再除去1这个根即可表示
由x^5－1＝0知，x为5次单位圆根，
故x1=1,x2=cosa+sinai,x3=cos2a+sin2ai，x4=cos3a+sin3ai,x5=cos4a+sin4ai
其中，a=2PI/5
所以原式＝(x-x2)(x-x5)(x-x3)(x-x4)