Question

一道不等式题！！

已知a,b,c>0，求证:ab/(a+c)(b+c)+bc/(a+b)(a+c)+ac/(b+c)(a+b)>=3/4
按你的做法，第二步应该是小于等于号。因为在分母上。再帮我想想？

Answer 1

因为a+c>=2(ac)^(1/2),b+c>=2(bc)^(1/2),a+b>=2(ab)^(1/2)
所以原式>=(1/4)((ab)^(1/2)/c+(bc)^(1/2)/a+(ac)^(1/2)/b)=(1/4)((ab)^(3/2)+(bc)^(3/2)+(ac)^(3/2))/abc>=(1/4)(3abc)/abc=3/4

Answer 2

令a+b=2z,b+c=2x,c+a=2y,则有a=-x+y+z,b=x-y+z,c=x+y-z,带入原式展开可得不等式即为：
x^2/yz+y^2/xz+z^2/xy+3-(x/y+y/x+x/z+z/x+y/z+z/y)≥0，即为x^3+y^3+z^3+3xyz≥x^2z+y^2z+x^2y+z^2y+y^2x+z^2x
这就是舒尔不等式：∑x(x-y)(x-z)≥0