Question

在平面直角坐标系xoy中 已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图像与x轴交于A,B两(A在

B的左边)，与y轴交与点C，且过点（4，-5）和（5，-12）
（1）求二次函数表达式
（2）y轴上有一点E(0，1)在直线DE上存在点G，使得以点B、E、G为顶点的三角形与△COA类似，恳求出点G坐标
（3）点P是x轴上的一个动点，过点P做直线l//AC交抛物线于点Q。试探究：随着点P的运动，在抛物线上
能否存在点Q，使以APQC为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出符合条件的点Q坐标

Answer 1

二次函数y=ax2+bx+3的图像与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0)，

有：1*3=3/a，a=1，1+3= -b/a，b=-4；

故：

（1）此二次函数的解析式y=x²-4x+3；

x=0时y=3，交y轴于点C，

故C（0,3）；

y=x²-4x+3=（x-2）²-1，

其图像顶点为D（2，-1）；

（2）△ABD与△BCO类似证明：

OC=OB=3，

故△BCO等腰直角三角形；

由A（1,0）、B（3,0）、D（2，-1）

可求出AD=BD=√2，和AD²+BD²=AB²，

故△ABD等腰直角三角形；

所以：）△ABD与△BCO类似。

（3）tan∠ACB =tan（∠OCB - ∠ACO）

=（tan∠OCB - tan∠ACO）/(1 + tan∠OCB tan∠ACO)

=（1 - 1/3）/(1 + 1*1/3 ) = 1/2

令过A（1,0）的直线为y=k（x-1），

因∠PAB=∠ACB，

故k=±tan∠ACB=±1/2

故：y=±（x-1）/2，

辨别与y=x²-4x+3联立方程组得：

x=1、x=7/2、x=5/2；

对应y=0、y=5/4、y= -3/4、

因A（1,0），

所以：P（7/2，5/4）或P（5/2，-3/4）。

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追问

有：1*3=3/a，a=1，1+3= -b/a，b=-4这一步是怎么来的？

第二问只是证出等腰直角，并没证出G坐标

我用二元一次方程：
-5=16a+4b+3;
-12=25a+5b+3；
算出来a=-1 b=2
不是y=-x^2+2x+3吗？？
顶点不是（1，-4）吗？？