Question

如图，在△ABC中，∠B=60°，∠A，∠C的平分线AE.CF相交于点O。 求证（1）OE=OF（2）AF+CE=AC

Answer 1

证明：分别向边AB、BC、AC做垂线，垂点为M、N、O，连接BG。
因为∠B=60°，故又平分线AE、CF，则∠AGC=120°;
且垂线GM和GN,在四边形BMGN中，则∠MGN=180°-∠B=120°；
对角线AE和CF，则∠FGE=∠AGC;
于是有：∠FGM=∠FGE-∠MGE=∠MGN-∠MGE=∠EGN----------------(1);
角平分线点到两边距离公式得：GM=GN;------------(2);
∠FMG=∠GNE=90°-------------------------(3);
在三角形FMG和三角形GEN中，由（1）（2）（3）可知（边角边）：
两个三角形全等，则FM=EN;——（0）
又CN=CO，AO=AM且AC=AO+OC;
又AM=AF+FM,即AF=AM-FM——（4）;和CE=CN+EN——（5）
由（4）+（5）且（0）得：AF+CE=AM-FM+CN+EN=AM+CN=AO+OC=AC,即证得：
AF+CE=AC。

参考：

AE交CF于O
AE和CF分别为角A、角C的角平分线
∠AOF=∠OAC+∠OCA=(∠BAC+∠BCA)/2=(180-60)/2=60
∠AOC=180-∠AOF=180-60=120
过O作直线OG交AC于G,使∠AOG=∠AOF
则△AOF≌△AOG,AF=AG
△COE≌△COG,CE=CG
所以
AF+CE=AG+CG=AC