Question

已知f(x)=x|x-a|+b,x∈R.若b<0,且对任何x∈[0,1]不等式f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围

Answer 1

（1）若a≤0，则f（x）=x²-ax+b，f（x）在x∈[0,1]上单调递增，
只需满足f（1）＜0，即1+b＜a＜1-b，所以1+b＜a≤0（特别的，当1+b≥0时，a无解）
（2）若0＜a＜1，
（I）则当x＜a时，f（x）=-x²+ax+b，f（x）在x=a/2取最大值。
只需满足，f（a/2）＜0，即-√-b＜a＜√-b，所以0＜a＜√-b∩a＜1
（II）当x≥a时，f（x）=x²-ax+b，f（x）单调递增，
只需满足f（1）＜0，即1+b＜a＜1-b∩0＜a＜1
∴0＜a＜√-b ∩ a＜1 ∩ a＞1+b
（3）若1≤a＜2，f（x）=-x²+ax+b，f（x）在x=a/2取最大值。
只需满足，f（a/2）＜0，即-√-b＜a＜√-b，所以1≤a＜√-b∩a＜2（特别的，当√-b≤1时，a无解）
（4）若a≥2，f（x）=-x²+ax+b，f（x）在x∈[0,1]上单调递减，
只需满足f（0）＜0，显然满足题意。
综合（1）（2）（3）（4），得a取值范围为
1+b＜a≤0或0＜a＜√-b ∩ a＜1 ∩ a＞1+b或1≤a＜√-b ∩ a＜2或a≥2
（注：当然，你可以对b的值分三段（-∞，-4），[-4，-1]，[-1,0）讨论，得出细致的a的取值范围。）