Question

已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）

Answer 1

将f（0）=0代入 f(x+1)=f(x)+x+1得
f(1)=1
将x=1代入 f(x+1)=f(x)+x+1得
f(2)=3
设y=ax^2+bx+c
代入得 c=0
f(1)=a+b=1
f(2)=4a+2b=3
1=a+b
3=4a+2b
a=1/2 b=1/2
所以 y=x^2/2+x/2

Answer 2

a=1/2,b=0,c=0,所以f（x）= x²/2

Answer 3

解：f(x+1)=f(x)+x+1对任意x均满足
所以令x=-1
f(0)=f(-1)-1+1,f(0)=0
f(-1)=0
再令x=0
f（1）=f（0）+0+1=1
所以由以上可知f(x)=0等于0的两个根为0，-1
又因为为二次函数
可设f(x)=a(x-0)(x+1)=ax(x+1) (a不等于0)
又有f(1)=1代入上式
有2a=1,a=1/2
f(x)=1/2x^2+1/2x
这样做可以避免解方程组
跟利于计算