Question

广义积分的考研题求助！

03年高等数学A选择第五题
广义积分∫ sin(x^2)/x^p dx （积分区间0~+∞）的收敛域为多少？

帮忙写下过程啊！
老婆考研，紧急求助！
正确答案是-1<p<3。选择题不知道过程，大家谁能给出过程啊！！！

Answer 1

广义积分要想收敛，那么在积分上下线处
被积函数的极限一定要存在
sin(x^2)/x^p的原函数不是初等函数，因此直接考察其在0和+∞处的极限
lim（x→0）sin(x^2)/x^p=x^2/x^p
此极限要存在，那么p<=2
lim（x→+∞）sin(x^2)/x^p=x^(-p)
此极限要存在，那么-p<0，p>0
所以使该广义积分收敛的p的范围是：0<p<=2

答案不对，p不可能小于0的
p要是小于0，那函数在无穷大出没有极限，根本不能收敛

Answer 2

x->0+
sin(x^2)/x^p ~ x^2/x^p ~ 1/x^(p-2)
∴ p-2 < 1 , p < 3

x->+∞
令： t=x^2
∫[0,+∞] sin(x^2)/x^p dx
=∫[0,+∞] sint/t^(p/2) * [1/(2√t) dt]
=1/2*∫[0,+∞] sint /t^[(p+1)/2) dt

p>-1 时 ， (p+1)/2 > 0
∫[0,+∞] sint dt 有界；
1/t^[(p+1)/2] 单调递减趋于0
由Dirichlet判别法积分收敛；

∴ -1<p<3 时积分收敛。

Answer 3

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