Question

已知抛物线c y2 2px 设抛物线上一点p的横坐标为t 过p的直线交c与另一点

已知抛物线C:y=x^2上一点p的横坐标为t（t大于0），过点p的直线交c与另一点Q，交x轴于M点，过点Q作PQ的垂线交C与另一点N，若MN是C的切线，求t的最小值、

Answer 1

依题意p(t,t^2),t>0,
设Q(q,q^2),q≠t,
PQ:y-t^2=(q+t)(x-t),交x轴于M(qt/(q+t),0),
QN⊥PQ,
∴QN:y-q^2=-(x-q)/(q+t),交抛物线C于N(-q-1/(q+t),[-q-1/(q+t)]^2),
MN是C的切线,
<==>MN的斜率=[-q-1/(q+t)]^2/[-q-1/(q+t)-qt/(q+t)]=2[-q-1/(q+t)],-q-1/(q+t)≠0，
∴2qt/(q+t)=-q-1/(q+t),
去分母得2qt=-q^2-qt-1,
t=-(q^2+1)/(3q)>=2/3,当q=-1时取等号，
∴t的最小值=2/3.