Question

试从dx/dy=1/y'导出：d^2x/dy^2=-y''/（y')^3 为什么不直接对y求导,而要转为dx的方法呢?

Answer 1

这里是视x=g(y)，x是因变量，y是自变量，来求函数x关于自变量y的二阶导数。
已知条件dx/dy=1/y'是函数x=g(y)与它的反函数y=f(x)的导数关系，题目的意思是从这个条件出发，来求函数x关于自变量y的二阶导数。
解决此题的关键是，注意是对哪一个变量求导；要用到复合函数的求导方法。
具体解答如下：
d^2x/dy^2
=d[dx/dy]/dy（对一阶导数再求一次导数）
=d[1/y']/dy（代入条件）
={d[1/y']/dx}*[dx/dy]（因为1/y'中的y'是函数y=f(x)的导数，是x的函数，所以1/y'当然也是x的函数，这个x的函数现在要对y求导，则需用复合函数的求导方法，对1/y'先对x求导，再对y求导）
={[-1/y'^2]*y''}*[dx/dy]（这里{[-1/y'^2]*y''}的得到又一次用了复合函数的求导方法：对[1/y']先对y'求导，y'再对x求导）
={[-1/y'^2]*y''}*[1/y']（代入条件）
=-y''/（y')^3。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示