高三数学函数题 50
设函数f(x)=x-1/x-2mlnx(m∈R)。1:讨论f(x)的单调性。2:若f(x)有两个极值是x1和x2,过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线...
设函数f(x)=x-1/x-2mlnx(m∈R)。1:讨论f(x)的单调性。2:若f(x)有两个极值是x1和x2,过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为K,问:是否存在m,使得K=2-2m?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由。求解题过程
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对f求导可得f'(x)=(x^2 - 2mx + 1)/x^2,要想使f(x)有两个极值,则其导函数必须有两个以上的零点,即f'(x)=0至少有两个根。由于定义域为x>0,令f'(x)=0,得x^2 - 2mx + 1 =0,它有两个不同实根,所以(2m)^2-4*1*1 = 4m^2-4>0,所以m>1或m<-1;
由根与系数关系可以解出x1=m+√(m^2-1),x2=m-√(m^2-1) (√是根号);x1+x2=2m,x1x2=1;
K = (f(x1)-f(x2))/(x1-x2) = 1+(1/x1x2)-2m*ln(x1/x2)/(x1-x2)
= 1 + 1 - m*ln( 2m^2 + 2m√( m^2-1) -1) ;
令上式=2-2m,则1 + 1 - m*ln( 2m^2 + 2m√( m^2-1) -1) / √(m^2-1) = 2-2m
即 ln(2m^2+2m√(m^2-1)-1) = 2√(m^2-1)
记g(m) = ln(2m^2+2m√(m^2-1)-1) - 2√(m^2-1)
对其求导可得g'(m) = 2 - 2m/√(m^2-1)
令g'(m)=0,等式无解。也就是说当m>1时,g'(m)<0,m<-1时,g'(m)>0,
g(m)在小于-1区间上递增,在大于1区间上递减。
当m=±1时g(m)=0,由于在(1,+∞)上单调递减,在(-∞,-1)上单调递增,因此g(m)=0没有除±1以外的其他根。又由于前面求出m>1或m<-1,因此,g(m)=0无解。因此不存在m使得K=2-2m
由根与系数关系可以解出x1=m+√(m^2-1),x2=m-√(m^2-1) (√是根号);x1+x2=2m,x1x2=1;
K = (f(x1)-f(x2))/(x1-x2) = 1+(1/x1x2)-2m*ln(x1/x2)/(x1-x2)
= 1 + 1 - m*ln( 2m^2 + 2m√( m^2-1) -1) ;
令上式=2-2m,则1 + 1 - m*ln( 2m^2 + 2m√( m^2-1) -1) / √(m^2-1) = 2-2m
即 ln(2m^2+2m√(m^2-1)-1) = 2√(m^2-1)
记g(m) = ln(2m^2+2m√(m^2-1)-1) - 2√(m^2-1)
对其求导可得g'(m) = 2 - 2m/√(m^2-1)
令g'(m)=0,等式无解。也就是说当m>1时,g'(m)<0,m<-1时,g'(m)>0,
g(m)在小于-1区间上递增,在大于1区间上递减。
当m=±1时g(m)=0,由于在(1,+∞)上单调递减,在(-∞,-1)上单调递增,因此g(m)=0没有除±1以外的其他根。又由于前面求出m>1或m<-1,因此,g(m)=0无解。因此不存在m使得K=2-2m
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首先x>0,且f'(x)=(x^2-2mx+1)/x^2=0有两个不相等的正根,所以 4m^2-4>0,且2m>0&1>0解得m>1;此时x1+x2=2m,x1x2=1;(原题少一个点字),f(x1)-f(x2)=x1-x2-(1/x1-1/x2)-2m(lnx1/x2)=2(x1-x2)-4mlnx1,所以 k=2-4mlnx1/(2x1-m),若k=2-2m,则 2lnx1=2x1-m,其中 x1=m+-根号m^2-1,m=x1+1/x1)/2,移向得:1.5x1-0.5/x1-2lnx1=0;设h(x)=1.5x-0.5/x-2lnx, 则h'(x)=3/2+1/2x^2-2/x=(3x^2-2x+1)/x^2=0无解,所以h'(x)>0,h(x)为增函数,又x1>1或x1<1,所以 h(x1),先下,有空再答,
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