Question

高三数学函数题

设函数f(x)=x-1/x-2mlnx(m∈R)。1:讨论f(x)的单调性。2:若f(x)有两个极值是x1和x2，过点A(x1，f(x1))，B(x2,f(x2))的直线斜率为K,问：是否存在m，使得K=2-2m？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。求解题过程
只用第二问

Answer 1

对f求导可得f'(x)=(x^2 - 2mx + 1)/x^2,要想使f(x)有两个极值，则其导函数必须有两个以上的零点，即f'(x)=0至少有两个根。由于定义域为x>0，令f'(x)=0，得x^2 - 2mx + 1 =0，它有两个不同实根，所以（2m）^2-4*1*1 = 4m^2-4>0，所以m>1或m<-1；
由根与系数关系可以解出x1=m+√(m^2-1)，x2=m-√(m^2-1) （√是根号）；x1+x2=2m，x1x2=1；
K = (f(x1)-f(x2))/(x1-x2) = 1+(1/x1x2)-2m*ln(x1/x2)/(x1-x2)
= 1 + 1 - m*ln( 2m^2 + 2m√( m^2-1) -1) ；
令上式=2-2m，则1 + 1 - m*ln( 2m^2 + 2m√( m^2-1) -1) / √(m^2-1) = 2-2m
即 ln(2m^2+2m√(m^2-1)-1) = 2√(m^2-1)
记g(m) = ln(2m^2+2m√(m^2-1)-1) - 2√(m^2-1)
对其求导可得g'(m) = 2 - 2m/√(m^2-1)
令g'(m)=0，等式无解。也就是说当m>1时，g'(m)<0，m<-1时，g'(m)>0，
g(m)在小于-1区间上递增，在大于1区间上递减。
当m=±1时g（m）=0，由于在（1，+∞）上单调递减，在（-∞，-1）上单调递增，因此g(m)=0没有除±1以外的其他根。又由于前面求出m>1或m<-1，因此，g(m)=0无解。因此不存在m使得K=2-2m

Answer 2

首先x>0,且f'(x)=（x^2-2mx+1)/x^2=0有两个不相等的正根，所以 4m^2-4>0,且2m>0&1>0解得m>1;此时x1+x2=2m,x1x2=1;(原题少一个点字),f(x1)-f(x2)=x1-x2-(1/x1-1/x2)-2m(lnx1/x2)=2（x1-x2)-4mlnx1,所以 k=2-4mlnx1/(2x1-m)，若k=2-2m,则 2lnx1=2x1-m,其中 x1=m+-根号m^2-1,m=x1+1/x1)/2,移向得：1.5x1-0.5/x1-2lnx1=0；设h(x）=1.5x-0.5/x-2lnx, 则h'(x)=3/2+1/2x^2-2/x=(3x^2-2x+1）/x^2=0无解，所以h'(x)>0,h(x)为增函数，又x1>1或x1<1,所以 h(x1),先下，有空再答，