Question

求解一道关于曲线积分的高数题~谢谢！

求：z=x^2+y^2下方，xy平面上方， 圆柱面x^2+y^2=2x内部 相交的体积。

Answer 1

曲面z=x^2+y^2是旋转抛物面，它的下方、xoy面的上方、圆柱面x^2+y^2=2x的内部的立体是，

以z=0（xoy面）为底、以x^2+y^2=2x（圆柱面）为侧面、以z=x^2+y^2（旋转抛物面）为顶的立体。

草图如下

体积

V=∫∫（Dxy：xoy面上的红色圆域x^2+y^2≤2x）dxdy∫（xoy面z=0到旋转抛物面z=x^2+y^2）dz

其中的二重积分宜选用极坐标，则

V=∫（-∏/2到∏/2）dθ∫（0到2cosθ）rdr∫（0到r^2）dz=。。。=3∏/2。