Question

两道数学分析证明题求思路

做出两题追加20分

Answer 1

5. 显然题设条件在加一个线性函数的情况下是不变的，所以你不能期望简单地令f(b)=0可以解决问题。此外注意用0/0型洛必达法则要求分子也是无穷小，否则就会出错(无穷/无穷型则只要分母是无穷大，这是一个重要区别)。首先用洛必达法则，可以证明(b-x)^βf'(x)极限是零，因此在区间[a，b]上对 f' 积分是收敛的，从而可以补充定义f(b)

追答

然后同样利用 (b-x)^βf''(x) 收敛，以及微分中值定理，可以证明 f' 一致连续(用(b-x)^{-β} 的积分控制，如果你学过实变函数，也可以直接知道 f'' 是可积的，并且其积分就给出 f')，从而知道f'(b)存在，f' 连续。

6. 首先容易构造一个光滑函数g满足其n-1阶导数有界，在0点的导数满足题设条件，然后令 f(x)=g(Rx)/R^n，对充分大的R，f 都满足条件。

Answer 2

5. 补充f(b)=0就行了, 用定义验证f'(b)=0以及一阶连续性
要点是 lim f(x)/(x-b)^{2-β} 和 lim f'(x)/(x-b)^{1-β} 都可以用 L'Hospital 法则归约到已知条件

6. 如果你知道磨光算子就好办了
先构造一个函数g(x), 在[-δ,δ]上g(x)=A, |x|>=2δ时g(x)=0, 中间可以用线性插值来连接(如果你知道这里可以进行无限光滑连接, 那么下一步可以省掉)
这样g(x)是一个连续函数, 然后做一下δ/4的磨光, 得到一个无限光滑函数h(x), 至少在[-δ/4,δ/4]上保证h(x)=A, 在|x|>3δ时保证h(x)=0
只要在上述过程中把δ取得充分小, 就可以得到一个满足条件的f(对h积分n次)

追问

我想继续问下5题，补充f(b)=0后,f'(b)=lim(f(b)-f(b-x0))/x0 (x0->0) 但是如何得出f'(b)=0?

追答

lim [f(x)-f(b)]/(x-b) = lim f(x)/(x-b)^{2-β} * lim (x-b)^{1-β}