Question

高等数学，求解不定积分问题

Answer 1

1/(sin2x+cosx)=cosx/(cosxsin2x+cos²x)=cosx/(2cos²xsinx+cos²x)=cosx/(2(1-sin²x)sinx+1-sin²x)
=cosx/(1-sin²x)(2sinx+1)=cosx/(1-sinx)(1+sinx)(2sinx+1)
所以 ∫1/(sin2x+cosx) dx = ∫cosx/(1-sinx)(1+sinx)(2sinx+1) dx
=∫1/(1-sinx)(1+sinx)(2sinx+1) dsinx
=∫1/(1-t)(1+t)(2t+1) dt ( 取t=sinx )
设 1/(1-t)(1+t)(2t+1) = a/(1-t) + b/(1+t) + c/(2t+1)
= ((2a-2b-c)t²+(3a+b)t+a+b+c )/(1-t)(1+t)(2t+1)
得三元一次方程组
2a-2b-c = 0
3a+b = 0
a+b+c = 1
其解为 a = 1/6 , b = -1/2 , c = 4/3
所以 ∫1/(1-t)(1+t)(2t+1) dt = ∫[1/6(1-t) - 1/2(1+t) + 4/3(2t+1)] dt
= ln((t+1/2)^(2/3)/(t-1)^(1/6)(t+1)^(1/2)) + C
再把 t=sinx 代入即可。这里写分数号不方便，可能有些看不清楚，请自己再算一下就知道了。

Answer 2