Question

数学数列题

已知数列an满足a1，a2-a1，a3-a2，......，an-a（n-1），......是首项为1，公比为a的等比数列。
（1）求an；
（2）如果a=2，bn=（2n-1）an，求数列bn的前n项和Sn。

Answer 1

（1）分析：先分析题目，容易看出题中有一种相加抵消循环，因此考虑到相加
即为Sn， 又已知a1和q即已知Sn.因此答案就出来。

解：Sn=a1+(a2-a1)+……+(an-a(n-1))=an=a1(1-q^n)/(1-q)=(1-a^n)/(1-a)

(2)由上得bn=(2n-1)(2^n-1)=(2n-1)2^n-(2n-1)
设 cn=(2n-1)2^n dn=2n-1 则bn=cn-dn
易得dn的前n项和Xn=n^2
易得cn的前n项和Yn=(2n-5)2^n+6
Sn=Yn-Xn=(4n-6)2^n-n^2+6

注：像等差乘等比的数列几乎都用到错位相减法，具体为列出Sn和qSn，
横着排错一位摆放。如上Yn的求法为：
Yn=1*2^1+3*2^2+5*2^3+……+(2n-1)2^n
2Yn= 1*2^2+3*2^3+……+(2n-3)2^n+(2n-1)*2^(n+1)
两式相减Yn-2Yn=2+2*2^2+2*2^3+2*2^4+……+2*2^n-(2n-1)*2^(n+1)
即 -Yn=2+2(2^2+2^3+2^4+……+2^n)-(2n-1)*2^(n+1)
=2+2*4(1-2^(n-1))/(1-2)-(2n-1)*2^(n+1)
=4*2^n-(4n-2)*2^n-6
Yn=(4n-6)2^n-6
在考试时一定要列出错位等式，列出就会得分，不列出会扣分，上面易得Yn=是网上一起写时看不清，

Answer 2

(1)
an-a（n-1）/a(n-1)-a（n-2）=a
a(n-1)-a（n-2）/a(n-2)-a（n-3）=a
....
a3-a2/a2-a1=a
a2-a1/a1=a
a1=1
左边全部相乘 右边全部相乘
得 an-a(n-1)=a^(n-1)
推 a(n-1)-a（n-2）=a^(n-2)
...
a2-a1=a
左边全部相+ 右边全部相+
得 an-a1=a+a^2+...+a^(n-1)=a×[a^(n-1)-1]/a-1
an={a×[a^(n-1）-1]/a-1}+1

(2)a=2
an=2^n-1
bn=(2n-1)(2^n-1)=n*2^(n+1)-2^n-2n+1
观察 其实每一个都是一个独立的数列
分别求和可求出Sn

希望能帮到你

Answer 3

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