Question

一道纠结的数学题

例13。如图在Rt△ABC中，∠A<∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，AC边与AB边交于E点。试问CD是BM的垂直平分线吗？如果结论成立，求∠A的度数。

Answer 1

设CD垂直平分BM，则有BE=ME，∠DEM=∠CEB为直角，进而推导出△CEB全等于△DEM.
根据已知，M是AB中点，因此有AM=DM=BM，而按假设ME=BM/2，则有ME=DM/2。再根据假设的∠DEM为直角，可以得出∠BAC=∠EDM=30度。
题目中未限定∠BAC的角度，因此假设不成立，CD不一定是BM垂直平分线。如果结论成立∠A的度数为30度。

Answer 2

CD一定垂直于BM(证明DCM是等腰三角形)但不一定平分,只有当角A等于30度是才垂直平分

Answer 3

直角三角形的斜边中线长度等于斜边一半（过斜边中点做两边的垂线可证）
∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠CAM
又有∠ACM=∠MAC

∠BMC=∠ABC
∠DCM=∠BAC
又有∠ABC+BAC=90，所以∠BMC+∠DCM=90
在△ECM中，两角之和90，另一角必为90，所以AB⊥CD

假设结论成立，则有CM=CB，又因为CM=BM=AM
所以，当CD=1/2AB时成立